Ortocentro di un triangolo - definizione e costruzione

In questo appunto viene spiegato in modo approfondito cos’è e come si costruisce l’ortocentro di un triangolo utilizzando il programma GeoGebra.
Per comprendere meglio la costruzione di tale elemento è prima necessario ripassare le caratteristiche di un triangolo e la costruzione dell’altezza.

Il triangolo

Il triangolo è una figura chiusa composta da tre segmenti aventi gli estremi in comune; i segmenti prendono il nome di lati mentre gli estremi in comune prendono il nome di vertici.
Due lati attigui e il vertice che li unisce definiscono una porzione di spazio che individua un angolo; il triangolo quindi è una figura costituita da 3 lati, 3 vertici e quindi 3 angoli.

Se il triangolo è costituito da 3 angoli acuti (angoli minori di 90°) allora la figura prende il nome di triangolo acutangolo.
Se il triangolo è costituito da un angolo ottuso (angolo con ampiezza compresa tra i 90° e i 180°) allora la figura prende il nome di triangolo ottusangolo.
Si può immaginare che a partire da un triangolo generico è possibile avvicinare due lati alla base al punto da sovrapporli alla base, in questo modo un angolo del triangolo aumenta fino a raggiungere il valore di 180° mentre gli altri due angoli alla base diminuiscono la loro ampiezza fino al valore di 0°, in tal modo si ottiene un triangolo con due lati coincidenti con la base, l’altezza del triangolo è nulla; un triangolo di questo tipo prende il nome di triangolo degenere.
Se il triangolo possiede invece un angolo retto (angolo di 90°) allora la figura prende il nome di triangolo rettangolo.
Per ulteriori approfondimenti sulla definizione e sui diversi tipi di angoli vedi anche qua.

L’altezza di un triangolo

Un elemento importante del triangolo è l’altezza; l’altezza è un segmento che è perpendicolare ad un lato e che passa per il vertice opposto al lato considerato.
Per costruire l’altezza è quindi necessario considerare un lato del triangolo, tracciare un segmento ortogonale a tale lato e che ha come estremo il vertice opposto; il segmento considerato per costruire l’altezza prende il nome di base.
Dato che il triangolo è composto da 3 lati, è possibile tracciare 3 altezze, ognuna relativa ad ogni lato quindi è sempre necessario specificare a quale lato del triangolo è riferita l’altezza.
A seconda del tipo di triangolo considerato l’altezza può essere interna o esterna al triangolo.
Nel caso di triangolo acutangolo l’altezza è sempre interna al triangolo (con interna si intende che l’altezza cade o interseca un punto che appartiene alla base).
Nel caso di un triangolo ottusangolo una delle tre altezze è esterna al triangolo, più precisamente per tracciare l’altezza è necessario prolungare la base per fare in modo che il segmento perpendicolare alla base passi per il vertice opposto.
Nel caso di un triangolo rettangolo vi sono due altezze che coincidono con un lato.
L’altezza è un elemento fondamentale del triangolo in quanto è utile per calcolare l’area di un triangolo.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo dell’area del triangolo vedi anche qua

Ortocentro: definizione

Dato un triangolo generico non degenere (con angoli minori di 180°), l’ortocentro è il punto di incontro delle altezze.
A seconda del tipo di rettangolo, l’ortocentro può trovarsi in punti diversi; riportiamo in seguito alcuni casi:

• nel caso di triangolo acutangolo (triangolo composto da tutti angoli acuti) l’ortocentro è un punto interno al triangolo;
• nel caso di triangolo ottusangolo (triangolo con un angolo ottuso) l’ortocentro è un punto esterno al triangolo;
• nel caso di un triangolo rettangolo (triangolo con un angolo retto) l’ortocentro è un punto che coincide con un vertice del triangolo.

Ortocentro: costruzione con GeoGebra

GeoGebra è un programma gratuito, disponibile online che permette di rappresentare graficamente molte figure (è possibile disegnarle in un foglio digitale a quadretti oppure è possibile inserire l’equazione analitica della funzione e il programma rappresenterà il grafico).
In questo caso è possibile utilizzare GeoGebra per costruire l’ortocentro di un rettangolo; riportiamo in seguito passo per passo la costruzione di tale elemento.
Iniziamo con la costruzione del triangolo: il triangolo è una figura composta da tre lati, uno strumento del programma, chiamato “poligoni”, permette di costruire qualsiasi tipo di poligono (figura avente dei segmenti come lati).
Si selezionano i punti che corrispondono ai vertici della figura cliccando sul foglio digitale e per chiudere la figura si seleziona nuovamente il punto di inizio.
Per costruire l’ortocentro è poi necessario costruire l’altezza relativa ad ogni lato del triangolo.
Tramite il programma è possibile tracciare una retta selezionando due punti per cui passa; nel nostro caso però è conveniente utilizzare l’opzione “retta perpendicolare”, si seleziona un lato del triangolo e apparirà una retta perpendicolare a tale lato, si muove il cursore e si seleziona il vertice opposto al lato considerato e si ottiene proprio l’altezza del triangolo.
Si ripete in modo analogo la costruzione dell’altezza anche per gli altri due lati e il punto individuato dall’intersezione delle altezze è proprio l’ortocentro del triangolo considerato.

Sempre utilizzando tale programma è possibile provare a costruire un triangolo ottusangolo o rettangolo e verificare che nel primo caso l’ortocentro è un punto esterno al triangolo mentre nel secondo caso l’ortocentro coincide con un vertice del triangolo.

In tale programma è anche possibile selezionare un vertice e spostarlo in modo da osservare come cambia la situazione muovendo il vertice in posizioni diverse.

Con il programma GeoGebra è possibile costruire qualsiasi tipo di figura, anche molto complessa, è possibile tracciare rette parallele, perpendicolari e molto altro.

GeoGebra può anche essere utilizzata per disegnare le figure presenti nei problemi per facilitarne la soluzione.
Il foglio digitale a quadretti che viene visualizzato su GeoGebra permette di tracciare una figura in scala e con le giuste dimensioni di quella che si trova in un problema ed è quindi possibile verificare la correttezza del risultato che si è trovato.