Circocentro, ortocentro, incentro e baricentro di un triangolo

In questo appunto verranno definiti i concetti di Ortocentro, Circocentro, Incentro, Baricentro di un triangolo, presentando le relazioni fondamentali ed esempi numerici.

Definizioni

In un triangolo è possibile individuare i cosiddetti segmenti notevoli, ovvero altezza, mediana, bisettrice e asse. Grazie questi segmenti notevoli è possibile andare a definire i concetti di Ortocentro, Circocentro, Incentro, Baricentro di un triangolo, definiti come i punti in cui i segmenti notevoli si incontrano.

Per ulteriori approfondimenti sulle definizioni fondamentali per un triangolo vedi anche qui

Ortocentro

In un triangolo non degenere, l'ortocentro risulta essere il punto di incontro delle tre altezze di un triangolo.

In un triangolo possono essere definite tre altezze a partire dai 3 tre lati differenti del triangolo stesso.
Disegnando le tre altezze, sarà possibile osservare che le tre altezze risultano essere perpendicolari tra di loro, e che queste si incontrano in un unico punto, ovvero l'ortocentro.
Le proprietà fondamentali dell'ortocentro sono le seguenti principalmente:

• Nel triangolo acutangolo l'ortocentro di un triangolo sarà un punto interno al triangolo stesso. Da qui si può definire che un triangolo è acutangolo se e solo se l'ortocentro è interno al triangolo stesso;
• Nel triangolo ottusangolo l'ortocentro sarà un punto esterno al triangolo stesso. Da qui si può definire che un triangolo è ottusangolo se e solo se l'ortocentro è esterno al triangolo stesso;
• Nel triangolo retto il circocentro coinciderà con il vertice appartenente all'angolo retto del triangolo stesso.

Incentro

in un triangolo non degenere, l'incentro sarà il punto in cui si incontreranno le tre bisettrici principali del triangolo in questione. In un triangolo possono essere definite tre bisettrici diverse a partire dai 3 tre vertici differenti del triangolo stesso.
Disegnando le tre bisettrici, sarà possibile osservare che le tre bisettrici risultano essere perpendicolari tra di loro, e che queste si incontrano in un unico punto, ovvero l'incentro.
un altra definizione per l'incentro, è quella di prendere un cerchio inscritto al triangolo stesso. L'incentro sarà il centro di questo cerchio, il quale possiederà come tangenti i tre lati del triangolo stesso.
Le proprietà fondamentali dell'incentro sono le seguenti principalmente:

• L'incentro risulta essere sempre un punto interno al triangolo stesso;
• L'incentro suddivide ogni bisettrice principale del triangolo in due parti diverse le quali vanno a soddisfare una proporzione ben determinata, ovvero: la parte contenente il vertice sta alla parte contenente uno dei lati adiacenti al vertice che sta alla parte contenente il latto opposto al vertice. In parole povere: l'incentro va a suddivide ciascuna bisettrice in due segmenti differenti i quali stanno tra di loro ai lati del vertice delle rispettive porzioni create dalla stessa bisettrice ma sul lato opposto;
• In termini matematici l'incentro è possibile definirlo come segue. Siano dati tre punti che sono le coordinate dei vertici del triangolo, le coordinate cartesiane dell'incentro saranno:
  [math]I({\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c};\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}})[/math]

Baricentro

In un triangolo non degenere, il baricentro di un triangolo è definito come il punto di incontro che si ha quando le mediane del triangolo si intersecano. In un triangolo possono essere definite tre mediane a partire dai 3 tre lati, partendo dal punto medio del lato del triangolo stesso e congiungendo la retta fino al punto medio del lato opposto.
Disegnando le tre mediane, sarà possibile osservare che le tre mediane si incontrano in un unico punto, ovvero il baricentro

.
Le proprietà fondamentali del baricentro sono le seguenti principalmente:

• Il baricentro rappresenta il punto di equilibrio del triangolo, e come tale risulta essere sempre un punto interno al triangolo stesso;
• Il baricentro suddivide ogni mediana in due parti differenti. La parte della mediana in cui viene suddivisa dal baricentro che contiene il vertice sarà il doppi dell'altra parte di divisione;
• In termini matematici il baricentro è possibile definirlo come segue. Siano dati tre punti che sono le coordinate dei vertici del triangolo, le coordinate cartesiane dell'incentro saranno:
  [math]G({\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}})[/math]

Circocentro

In un triangolo non degenere, il circocentro di un triangolo è il centro della circonferenza passante per i tre vertici di un triangolo, definito come il punto di incontro degli assi dei suoi lati.
Quindi, date le coordinate di un triangolo, è sufficiente ricavare l'equazione degli assi dei lati e determinarne il punto di intersezione per trovare le coordinate del circocentro di un triangolo.
Dato un triangolo

con i punti pari a:

Le coordinate del circocentro

si calcolano nel seguente modo. Poniamo

, allora risulterà che:

Le proprietà fondamentali del circocentro sono le seguenti principalmente:

• Il circocentro è il centro della circonferenza che va a circoscrivere il triangolo stesso
• Nel triangolo acutangolo il circocentro sarà un punto interno al triangolo stesso;
• Nel triangolo ottusangolo il circocentro sarà un punto esterno al triangolo stesso;
• Nel triangolo retto il circocentro coinciderà con il punto medio dell'ipotenusa del triangolo stesso.

Dimostrazione della formula del circocentro

Calcoliamo innanzitutto i coefficienti angolari delle rette

e

.

e similmente

.

Siano ora

rispettivamente i punti medi di

e

. Allora

e

.
Sappiamo che l'asse di un segmento è la retta perpendicolare ad esso passante per il suo punto medio. Chiamiamo quindi

l'asse di

e

l'asse di

.
Ricordando che il coefficiente angolare di una retta perpendicolare è l'antireciproco dell'altra retta, diremo quindi che:

e

.

Scriviamo ora l'equazione di

imponendo il passaggio per

e facciamo il ragionamento analogo con la retta

imponendo il passaggio per

.
Si ottiene dunque che

e

.

Risolvendo il sistema si ha che detto appunto

il punto di intersezione di

e

,

,

come volevamo dimostrare.

Tecniche di risoluzione

Per risolvere gli esercizi in cui si chiede di determinare le coordinate del circocentro di un triangolo, è sufficiente applicare questa formula. Nel caso in cui A non coincida con l'origine, niente paura! È sufficiente traslare il triangolo in modo tale che A coincida con l'origine!