Retta: descrizione ed equazioni caratteristiche

In questo appunto di matematica verrà definita la retta, in particolare verranno definite le equazioni della retta in forma esplicita ed implicita. Ci soffermeremo sull’equazione di una retta passante per l’origine, di una retta per un punto e di una retta per due punti.

Che cos’è una retta ? Definizione

Sia dato un piano cartesiano ortogonale di origine ed assi ed .
Definiamo la retta come un ente geometrico costituito da infiniti punti allineati.
Al fine di studiare la retta nel piano cartesiano dobbiamo definire una funzione che metta in relazione le coordinate di tutti i punti appartenenti alla retta, ossia dobbiamo arrivare a definire una relazione fra le ascisse , e le ordinate del generico punto che appartiene alla generica retta .
Tutti i punti della retta godono della proprietà di avere per coordinate coppie di numeri che, sostituiti ordinatamente al posto delle variabili ed nell’equazione che definisce la retta, soddisfano l’equazione stessa.
La retta può essere descritta da due tipologie di equazioni:

• Equazione retta in forma implicita;
• Equazione della retta in forma esplicita.

Nel caso della forma implicita, la retta ha una equazione del tipo:

Dove:

Nel caso della forma esplicita, sia ha una equazione del tipo:

Dove:
Dove:

viene chiamato coefficiente angolare, è definito anche come:
dove è l’angolo che la retta considerata forma con la direzione positiva dell’asse delle .
Tale coefficiente fornisce indicazioni sull’inclinazione della retta e sul suo andamento.
Infatti:

• Se
  [math] m > 0[/math]
  allora
  [math]tgα > 0[/math]
  , quindi la retta risulta essere crescente;
• Se
  [math]m > 0[/math]
  allora
  [math]tgα > 0[/math]
  , quindi la retta risulta essere decrescente.
Il coefficiente
[math]q[/math]
viene chiamato termine noto ed individua l’ordinata del punto in cui la retta interseca l’asse delle
[math]y[/math]
, ossia
[math](0,q)[/math]
.

Entrambe le equazioni della retta, sia quella in forma esplicita che quella in forma implicita, sono trasformabili l’una nell’altra.
Data:

Si ha che:

Dove si ha che;

Se

, la retta passa per l’origine degli assi cartesiani.

Per ulteriori approfondimenti sull'equazione della retta vedi anche qua

Equazione di una retta passante per l’origine

L’equazione della retta passante per l'origine è la seguente:

Dove:
Dove:

viene chiamato coefficiente angolare; esso esprime l’angolo che si forma tra la retta e il semiasse positivo delle ascisse.
Come si può capire dalla definizione, questa tipologia di retta interseca solo e soltanto l’origine.
Se allora l’equazione della retta diventerà la seguente:

La retta che si ottiene coincide con la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Mentre, se

, l’equazione della retta sarà:

La retta che si ottiene coincide con la bisettrice del secondo e quarto quadrante.

Equazione di una retta per un punto

Sia dato un generico punto e tutte le rette che passano per (fascio di rette proprio) date dalla seguente equazione:

Per trovare l’equazione di una retta in particolare facente parte di tale fascio, si deve fissare un valore del coefficiente angolare

.
Tale valore può essere fissato prendendo una seconda retta di riferimento, ad esempio parallela, perpendicolare a quella che si vuole trovare o semplicemente di riferimento che fornisca un valore del coefficiente angolare.
Si ricorda che noti due punti e , il valore del coefficiente angolare può essere trovato mediante la seguente espressione:

Facciamo un esempio: se si vuole trovare l'equazione della retta passante per

di coefficiente angolare :

In linea generale il procedimento da seguire è descritto di seguito.
Supponiamo di avere un punto generico ed un coefficiente angolare generico.

• Sostituire il valore del nostro coefficiente angolare all'interno dell'equazione della retta, ottenendo un'espressione in cui rimane da trovare il termine noto
  [math] q[/math]
  .
  Più genericamente andiamo a sostituire il valore noto di m nell'equazione
  [math] y=mx+q[/math]
  .
• Dopodiché si sostituiscono le coordinate del punto all'interno dell'equazione della retta e questo ci consentirà di trovare il termine noto
  [math] q[/math]
  .
• Conoscendo i parametri
  [math] m[/math]
  e
  [math] q[/math]
  si può scrivere l’equazione della retta.

Per ulteriori approfondimenti sull'equazione della retta vedi anche qua

Equazione di una retta per due punti

L’equazione di una retta, non parallela ad alcun asse coordinato, passante per i punti e è la seguente:

Tale definizione deriva dal fatto che:
Le coordinate cartesiane dei punti di una retta, non parallela ad alcun asse coordinato, sono le soluzioni di una equazione di primo grado in due variabili.
Facciamo un esempio: si vuole trovare l'equazione della retta passante per i punti

e :

Saremmo arrivati allo stesso risultato, se avessimo considerato la forma esplicita dell’equazione della retta ed avessimo sostituito le coordinate dei punti e , ottenendo in questo modo un sistema di due equazioni in due incognite, e , risolvendo il quale avremmo ottenuto coefficiente angolare e termine noto ed saremmo arrivati allo stesso risultato.