Principali definizioni legate alla circonferenza

In quest'appunto troverai tutte le principali definizioni relative al cerchio, con un approfondimento sui teoremi e sulle posizioni reciproche che due circonferenze o una retta e una circonferenza possono assumere.

Che cos'è una circonferenza e le definizioni di corda, diametro, arco, angolo al centro e settore circolare

La circonferenza è il luogo dei punti di un piano che hanno distanza assegnata da un punto, detto centro.

Gli angoli aventi vertici nel centro della circonferenza si chiamano angoli al centro.

Per definire univocamente una circonferenza bastano 3 punti: per 3 punti non allineati, infatti, passa una e una sola circonferenza. La distanza dal centro a tali punti prende il nome di raggio. Il segmento che unisce invece due punti della circonferenza prende il nome di corda: la corda passante per il centro è la più estesa e si chiama diametro. Una parte di circonferenza racchiusa tra due punti viene definita arco.

Il cerchio è una figura piana formata dai punti della circonferenza e da quelli interni alla circonferenza. In altre parole, la circonferenza rappresenta solo il contorno della figura, mentre il cerchio è formato dal contorno più l'area racchiusa.
Le sezioni di cerchio vengono definiti settori circolari e sono compresi tra un arco e i due raggi che hanno un estremo nelle estremità dell'arco.

I principali teoremi sulle corde

Vi sono dei teoremi relativi alle corde che sanciscono alcuni punti da sfruttare durante la risoluzione di esercizi o di dimostrazioni. Essi sono:

• in una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualunque altra corda che non passa per il centro
• se in una circonferenza un diametro è perpendicolare a una corda, allora la corda, l’angolo al centro e l’arco corrispondenti risultano divisi a metà da tale diametro
• se in una circonferenza un diametro interseca una corda non passante per il centro nel suo punto medio, allora il diametro è perpendicolare alla corda
• in una circonferenza, corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro
• in una circonferenza, corde aventi la stessa distanza dal centro sono congruenti
• se in una circonferenza due corde non sono congruenti, non hanno la stessa distanza dal centro: la corda maggiore ha distanza minore

Le posizioni di una retta rispetto a una circonferenza

Una retta e una circonferenza che si intersecano non possono avere più di due punti in comune.
Se la distanza dal centro di una circonferenza da una retta è maggiore del raggio allora la retta è esterna alla circonferenza, cioè non ha punti in comune a essa. Se invece è uguale al raggio, allora la retta è tangente alla circonferenza. Se è minore del raggio, allora la retta è secante la circonferenza, ossia ha due punti in comune con essa.

Proprietà particolari di una retta tangente a una circonferenza

Una retta è tangente a una circonferenza se ha un solo punto in comune con essa.
Se una retta è tangente a una circonferenza, la sua distanza dal centro è uguale al raggio. Quando, invece, una retta è tangente a una circonferenza di centro

in un suo punto

, allora è tangente perpendicolare al raggio

. Se una retta è perpendicolare al raggio

di una circonferenza di centro

, allora è tangente in

alla circonferenza

Le posizioni reciproche tra due circonferenze

Date due circonferenze poste sullo stesso piano, esse possono essere:

• circonferenze secanti se hanno due punti in comune. La distanza dai centri delle due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza
• circonferenze tangenti, quando hanno un solo punto in comune. Se il centro di una è esterno all'altra, sono tangenti esternamente. Se il centro di una è interno all'altra, sono tangenti internamente. Nel primo caso, la distanza dei centri è uguale alla differenza dei raggi. Nel secondo caso, la distanza dei centri è uguale alla somma dei raggi
• circonferenze esterne, se non hanno punti in comune. In questo caso, la distanza dei centri è maggiore della somma dei raggi
• circonferenze interne, se tutti i punti della circonferenza di raggio minore sono interni all'altra. La distanza dei centri è minore della differenza dei raggi

Gli angoli alla circonferenza e i poligoni iscritti e circoscritti

Cosa sono gli angoli alla circonferenza

Gli angoli alla circonferenza sono angoli convessi che hanno il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza stessa, oppure un lato secante e l’altro. Un angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro.

Esistono dei corollari relativi agli angoli alla circonferenza, i quali affermano che nella stessa circonferenza, 2 o più angoli che insistono sullo stesso arco (o su archi congruenti) sono congruenti. Infine , se un angolo alla circonferenza insiste su una semicirconferenza, è retto.

Poligoni iscritti e circoscritti in una circonferenza

Un poligono si dice iscritto se ha tutti i vertici sulla circonferenza. In un quadrilatero iscritto gli angli opposti sono supplementari. Se, invece, esso è circoscritto, tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. In un quadrilatero circoscritto la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

Se un poligono ha gli assi dei lati che passano per uno stesso punto, allora il poligono può essere iscritto in una circonferenza. Quando, invece, un poligono è iscritto in una circonferenza, gli assi dei suoi lati si incontrano nel centro della circonferenza.

Se un poligono convesso ha le bisettrici degli angoli che passano tutte per uno stesso punto, allora il poligono può essere circoscritto a una circonferenza. Nel caso in cui un poligono sia circoscritto a una circonferenza, le bisettrici dei suoi angoli si incontrano nel centro della circonferenza.

I punti notevoli dei triangoli

All'interno dei triangoli possono essere riconosciuti dei punti notevoli, ossia dei punti posti al centro della figura, definito di volta in volta da parametri differenti. Essi sono:

• il circocentro, ossia il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo ed è il centro della circonferenza circoscritta
• l'incentro, cioè il punto di incontro delle bisettrici di un triangolo ed è il centro della circonferenza iscritta
• l'excentro, che è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni di un triangolo con la bisettrice dell’angolo interno non adiacente
• l'ortocentro, il quale è il punto di incontro tra le altezze del triangolo
• il baricentro, cioè il punto di incontro delle mediane

Per ulteriori approfondimenti sulla circonferenza vedi anche qui