Calcolo del raggio - Regole base

In questo appunto viene descritto il calcolo del raggio. Capita molto spesso, quando si affrontano problemi di geometria che coinvolgono delle circonferenze, che una delle richieste sia relativa al calcolo della misura del raggio. Oppure che, per ottenere altre informazioni, occorra calcolare il raggio di una certa circonferenza, per esempio quella inscritta o quella circoscritta. In questa pagina, vedremo come calcolare il raggio della circonferenza partendo da altri dati, come la lunghezza della circonferenza, l’area del cerchio, la lunghezza di un arco o l’area di un settore circolare.

Il raggio a partire dalla lunghezza della circonferenza

In questo primo paragrafo mostreremo come trovare la misura del raggio partendo dalla lunghezza della circonferenza.
La formula per trovare la lunghezza della circonferenza C, a partire dalla misura del raggio R è:

In questo caso la formula inversa, cioè quella per trovare il raggio a partire dalla lunghezza della circonferenza, è:

Ricorda che il valore della costante

è pari a circa

.

Vediamo un esempio di applicazione di questa formula.

Problema
Calcola il diametro di una circonferenza lunga 319,54 cm.

Svolgimento
Ricordando che il diametro è il doppio del raggio, calcoliamo dapprima il raggio R con la formula che abbiamo visto.

Moltiplichiamo poi per 2 il risultato ottenuto.

A questo punto, moltiplicando per due la misura del raggio, otteniamo il diametro:

Il raggio a partire dall’area del cerchio

In questo paragrafo vedremo quale formula occorre utilizzare per calcolare la misura del raggio di un cerchio quando sia nota la sua area.

Per calcolare l’area di un cerchio A di cui sia noto il raggio R, usiamo la formula:

A partire da questa, si può ricavare la formula inversa, cioè quella che consente di ottenere la misura del raggio R conoscendo l’area A di un cerchio:

Applichiamo questa formula ad un problema.

Problema

Un cerchio ha l’area di

. Calcola la misura della circonferenza che lo delimita.

Svolgimento

Per prima cosa, occorre trovare la misura del raggio.
Utilizzando la formula appena vista, otteniamo:

A questo punto, resta da calcolare la lunghezza della circonferenza C:

Per ulteriori approfondimenti sulla lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio vedi anche qua

Il raggio a partire dalla lunghezza dell’arco

In questo paragrafo, vediamo come calcolare il raggio di una circonferenza se ne conosciamo la lunghezza di un arco.

Per conoscere la lunghezza L di un arco di circonferenza di cui sia nota l’ampiezza

e il raggio R, utilizziamo la formula:

La formula inversa, utile per trovare R, è:

Vediamo subito un esempio di applicazione.

Problema

Calcola il raggio di una circonferenza alla quale appartiene un arco ampio 48° e lungo 15 cm.

Svolgimento

Per calcolare la lunghezza del raggio, utilizziamo la formula:

Sostituendo i dati, si ha:

Svolgendo i calcoli, si ottiene:

Il raggio a partire dall’area di un settore circolare

In quest’ultimo paragrafo, scopriremo come ottenere la misura del raggio della circonferenza partendo dall’area di un settore circolare.

Un settore circolare è una porzione di cerchio delimitata da due raggi e dall’arco di circonferenza tra essi compreso. Se immagini il cerchio come una torta, il settore circolare ha l’aspetto di una fetta di questa torta.
Per calcolare l’area A di un settore circolare, quando conosci il raggio R e la lunghezza L dell’arco di circonferenza che questo settore circolare determina, si utilizza la formula:

A partire da questa formula e dalla lunghezza dell’arco L, possiamo trovare la misura del raggio mediante la formula inversa:

Una formula alternativa è quella che consente di calcolare l’area A del settore circolare conoscendone il raggio R e l’ampiezza

. La formula, in questo caso, è:

La formula inversa, quindi quella che consente di trovare il raggio R di una circonferenza della quale sono noti l’area A di un settore circolare e la sua ampiezza

è:

Vediamo un esempio applicativo.

Problema

Calcola il raggio di un settore circolare che ha ampiezza pari a

ed area pari a

.

Svolgimento

Per risolvere questo problema, possiamo applicare la seconda delle due formule che abbiamo visto nel presente paragrafo.
Si ha:

Per ulteriori approfondimenti sulla circonferenza e sugli elementi che ne fanno parte vedi anche qua