Matematica C3 Geometria Razionale (ebook)

3

Matematica C

Geometria razionale

Manuale per il biennio

della Scuola Secondaria di II grado

Matematicamente.it

a

4 Edizione - 2015

3

Matematica C - Geometria Razionale

Copyright © 2015 Matematicamente.it

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legga il materiale informativo pubblicato su http://www.copyleft-italia.it.

Coordinatori del progetto

Antonio Bernardo, Daniele Masini, Angela D’Amato, Anna Cristina Mocchetti.

Autori

Angela D’Amato, Antonio Bernardo, Cristina Mocchetti, Lucia Rapella, Gemma Fiorito, Daniele Masini.

Hanno collaborato

Francesco Camia, Erasmo Modica, Germano Pettarin, Nicola Chiriano, Luciano Sarra, Paolo Baggiani, Vittorio Patriarca, Giuseppe Pipino, Anna Battaglini-Frank, Dorotea Jacona, Eugenio Medaglia, Laura Todisco, Alberto Brudaglio, Luca Frangella, Alessandro Paolini.

Progettazione e implementazione in LaTeX

Daniele Masini.

Collaboratori

Claudio Carboncini.

Collaborazione, commenti e suggerimenti

Se vuoi contribuire anche tu alla stesura e aggiornamento del manuale Matematica C - Geometria Razionale o se vuoi inviare i tuoi commenti e/o suggerimenti scrivi a antoniobernardo@matematicamente.it.

Versione del documento: 4.0 del 1 settembre 2015.

Quarta edizione, settembre 2015.

ISBN 9788896354797.

Dati tecnici per l’adozione del testo a scuola

Titolo: Matematica C, Geometria Razionale - quarta edizione.

Codice ISBN: 9788896354797.

Editore: Matematicamente.it.

Anno di edizione: 2015.

Prezzo: 0,00.

Formato: ebook (PDF).

Indice

Prefazione vii

1 Nozioni fondamentali 1

1.1 Introduzione alla geometria razionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Breve nota storica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Lo spazio fisico e la geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Il metodo assiomatico, i concetti primitivi e le definizioni . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Nozioni di logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Predicati e quantificatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Implicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4 I teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.5 La deduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.6 La dimostrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Gli enti fondamentali della geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Concetti primitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Postulati e assiomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Prime definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Semirette e segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Semipiani e angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Confronto e operazioni tra segmenti e angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 Premessa intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.2 La congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.3 Confronto di segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.4 Confronto di angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.5 Operazioni con i segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5.6 Operazioni con gli angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5.7 Angoli particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.8 Perpendicolari e altre definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6 La misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.1 Misura di segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.2 Misura di angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7 Poligoni e poligonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7.1 Poligono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.8.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2 Congruenza nei triangoli 67

2.1 Definizioni relative ai triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iii

iv Indice

2.2 Primo e secondo criterio di congruenza dei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Teoremi del triangolo isoscele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Terzo criterio di congruenza dei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.5 Congruenza dei poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.6 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.6.1 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.6.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3 Rette parallele 85

3.1 Primo teorema dell’angolo esterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2 Rette perpendicolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3 Rette parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3.1 Rette parallele tagliate da una trasversale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4 Somma degli angoli interni di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.5 Somma degli angoli interni di un poligono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.6 Generalizzazione dei criteri di congruenza dei triangoli . . . . . . . . . . . . . 93

3.6.1 Congruenze di triangoli rettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.7 Disuguaglianze tra gli elementi di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.8.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.8.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4 Quadrilateri 115

4.1 Generalità sui quadrilateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.1.1 Distanza di un punto da una retta e altezza di una striscia di piano . . . 116

4.1.2 Generalità sui poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.2 Trapezio e deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2.1 Proprietà del trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2.2 Proprietà del deltoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.3 Proprietà dei parallelogrammi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4 Parallelogrammi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.5 Corrispondenza di Talete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.6 Conseguenze della corrispondenza di Talete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

4.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7.1 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5 Circonferenza 133

5.1 Luoghi geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2 Circonferenza e cerchio: definizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . 135

5.3 Posizioni relative fra rette e circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.3.1 Posizioni reciproche di due circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.4 Angoli nelle circonferenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.5 Proprietà dei segmenti di tangenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.6 Poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.7 Punti notevoli di un triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.7.1 Circocentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Indice v

5.7.2 Incentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.7.3 Ortocentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.7.4 Baricentro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.7.5 Excentri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.8 Proprietà dei quadrilateri inscritti e circoscritti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5.9 Poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.10.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.10.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

6 Proporzionalità e similitudine 171

6.1 La misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.1.1 Classi di grandezze omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.2 Proporzionalità tra grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

6.2.1 Proprietà delle proporzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

6.2.2 Grandezze direttamente e inversamente proporzionali . . . . . . . . . . . 178

6.2.3 Grandezze inversamente proporzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6.3 Teorema di Talete, caso generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.3.1 Conseguenze del teorema di Talete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

6.4 Avere la stessa forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.5 La similitudine nei triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

6.5.1 Proprietà dei triangoli simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.6 Similitudine tra poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.6.1 Similitudine tra poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.7 Proprietà di secanti e tangenti ad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . 192

6.8 La sezione aurea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.8.1 Il punto di vista algebrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.8.2 Il punto di vista geometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.9 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.9.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

6.9.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7 Equiestensione e aree 209

7.1 Estensione superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.2 Poligoni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.2.1 Costruzione di un rettangolo equivalente a un poligono assegnato . . . 219

7.2.2 Da un poligono al quadrato equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.3 Aree dei principali poligoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.3.1 Area del rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.3.2 Area del quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.3.3 Area del parallelogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.3.4 Area del triangolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.3.5 Area del trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.3.6 Area del rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.3.7 Area di un poligono circoscrivibile ad una circonferenza . . . . . . . . . 223

7.4 Teoremi di Pitagora e di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7.5 Applicazioni dei teoremi di Euclide e Pitagora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

vi Indice

7.6 Applicazioni dell’algebra alla geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.6.1 Triangoli rettangoli con angoli di 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.6.2 Triangoli rettangoli con angoli di 30° e 60° . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

7.6.3 Formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo . . . . . . . . . 229

7.6.4 Triangoli equilateri inscritti e circoscritti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.6.5 Trapezi circoscritti ad una circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

7.6.6 Trapezi circoscritti ad una semicirconferenza . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7.6.7 Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo . . . . . . . . . . . . 234

7.6.8 Raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo . . . . . . . . . . 234

7.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.7.1 Esercizi dei singoli paragrafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

7.7.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

8 Trasformazioni geometriche piane 247

8.1 Generalità sulle trasformazioni geometriche piane . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.1.1 Introduzione e definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

8.2 Le isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

8.2.1 La simmetria centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.2.2 La simmetria assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

8.2.3 La traslazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

8.2.4 La rotazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.3 Composizione di isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.3.1 Composizione di isometrie di tipo diverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.3.2 Composizione di isometrie dello stesso tipo . . . . . . . . . . . . . . . . 265

8.3.3 Isometria inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

8.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8.4.1 Esercizi riepilogativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8.4.2 Risposte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

Prefazione

Guardando i libri di testo sia con gli occhi dell’insegnante che li usa, sia dell’autore che li scrive, ci si rende conto di un fatto banale: chi scrive i manuali scolastici sono gli insegnanti, chi li usa sono sempre gli insegnanti.

Dal momento che oggi ci sono gli strumenti, sia quelli on demand, elettronici, sia il sistema della stampa che permettono di “circuitare” direttamente autori e fruitori, mi sono deciso a intraprendere la creazione di un manuale di matematica “libero”, nel senso più ampio che oggi, nell’era delle tecnologie dell’informazione e della comunicazione, si riesce a dare a questo termine.

Tuttavia, adottare “ufficialmente” un testo scolastico nella scuola italiana è un fatto semplice solo se si segue un percorso consolidato nel tempo, fatto più che altro di prassi e abitudini che non di leggi specifiche.

Per rispondere a queste esigenze questo Manuale è fatto di Autori, Contenuti, Supporti e Dati legali.

3

Obiettivi

Il progetto “Matematica C 3” ha per obiettivo la realizzazione di manuali di matematica e geometria, per tutto il percorso scolastico e per ogni tipologia di scuola, scritti in forma collaborativa e con licenza Creative Commons.

Si propone, quindi, di abbattere i costi dell’istruzione, ridurre il peso dei libri, invogliare gli studenti a usare il testo e promuovere l’autoformazione per chi è fuori dai percorsi scolastici.

Ha inoltre l’ambizione di avviare una sfida “culturale” più ampia in una scuola più democratica, più libera, dove ognuno possa accedere gratuitamente almeno alle risorse di base.

Autori

I manuali sono scritti in forma collaborativa da diverse decine di docenti delle relative discipline scientifiche, sulla base della loro esperienza reale di insegnamento nelle diverse scuole.

Alla sua realizzazione hanno contribuito anche studenti e appassionati.

Tutti hanno contribuito in maniera gratuita e libera.

3 work in progress

Contenuti

Matematica C si presenta quindi come un sempre aggiornato e migliorabile da parte di tutti, docenti e studenti.

Può essere liberamente personalizzato da ciascun insegnante per adeguarlo alla scuola in cui insegna, al proprio modo di lavorare, alle esigenze dei suoi studenti.

È pensato non tanto per lo studio della teoria, che rimane principalmente un compito dell’insegnante, quanto per fornire un’ampia scelta di esercizi da cui attingere per “praticare” l’apprendimento.