Geometria dell'universo - dalla negazione del v postulato di euclide alle ipotesi

1 s

Il regolo impiegherà, per passare davanti all'osservatore, un tempo t minore di t econdo un fattore

(1

ψ = 1 / 2 2

- v /c ).

Se il tempo è minore anche la lunghezza del regolo sarà tale: (1

= v ∙ t = v ∙ t / / ψ = L



1 1 2 2 )

L = L - v /c

0 0

Una prova della dilatazione dei tempi: il decadimento dei muoni

μ, π)

I muoni, o mesoni sono particelle create dal decadimento dei pioni (mesoni e si creano nell'alta

atmosfera a migliaia di Km sul livello del mare. I muoni decadono seguendo la legge statistica della

radioattività: ∙ - t/τ

N(t) = N e

0 τ

Dove N è il numero dei muoni all'istante t = 0, N(t) è il numero dei muoni all'istante t e (tau) è la

0 8

vita media di un muone (per i muoni fermi vale circa 2μs).Supponiamo di rivelare 10 muoni ad

un'altezza di 9000 m. Sapendo che un muone tipico si muove alla velocità di 0.998 c, il tempo



impiegato dalle particelle per arrivare al livello del mare è (9000 m)/0.998 c 30μs cioè 15 volte il

∙ e

8 8 -15

valore della vita media. Ponendo N = 10 e t = 15τ si ottiene: N = 10 = 30.6.

0

Dovremmo quindi aspettarci di rivelare circa 31 muoni al livello del mare. Invece, da esperimenti

pratici, è risultato che il numero dei muoni rilevati è notevolmente maggiore. Questo perché la vita

2 2

di un muone, misurata nel sistema di riferimento della terra aumenta del fattore 1/(1 - v /c ) che

(per v = 0.998 c) vale ψ τ

= 15. Perciò per = 30μs si ha:

∙ = 3.68 ∙ 10

8 -1 7

N = 10 e

Questo dimostra che gli esperimenti pratici concordano con la teoria relativistica.

Effetto Doppler relativistico

Ricordiamo che , quando nella meccanica classica viene trattato l'effetto Doppler, ci si limita a

considerare il caso acustico. In questo ambito, il fenomeno consiste nel fatto che, esistendo un

moto relativo tra una sorgente sonora e un ricevitore del suono, la frequenza del suono ricevuto in

fase di avvicinamento relativo è diversa dalla frequenza del suono ricevuto in fase di

allontanamento. Allora risulta necessario studiare il fenomeno nei due casi:

11

 sorgente in moto e osservatore fermo

 sorgente ferma e osservatore in moto

Le ragioni della distinzione nei due casi sono le seguenti: (1) le onde sonore necessitano di un

mezzo materiale (aria) per la loro propagazione e (2) le proprietà del suono variano a seconda di

cosa (sorgente sonore o ricevitore) sia in movimento rispetto all'aria.

Siccome le onde luminose non necessitano, come abbiamo visto, di un mezzo materiale per la

propagazione, non si ha ragione di studiare l'effetto Doppler nei due casi, come è stato fatto per il

suono.

Effetto Doppler per la luce

Abbiamo un segnale luminoso che viene emesso a frequenza f dalla sorgente S, ed è ricevuto a

frequenza f’ dall'apparato ricevitore R, perché tra S ed R esiste moto con velocità relativa di valore

v.

Se S e R si allontanano, allora, essendo b = v/c, si ha: b)]1/2

f’ = f • [(1 - b) / (1 +

quindi f’ < f , cioè la frequenza di ricezione, inferiore a quella di emissione, è spostata verso il

rosso (redshift).

Se invece S e R si avvicinano, allora si ha: b)]1/2

f’ = f • –

[(1 + b) / (1

per cui sarà f’ > f, e quindi la frequenza di ricezione risulterà spostata verso il violetto (blueshift).

(Ricordiamo che rappresentando lo spettro delle frequenze delle onde elettromagnetiche con

frequenze crescenti da sinistra verso destra, all'estremità sinistra c'è l'infrarosso, all'estremità destra

l'ultravioletto).

Relatività generale

Da un punto di vista matematico, la relatività generale è molto più complicata di quella ristretta:

per questo ne fornirò solo una breve trattazione qualitativa.

La base della teoria generale della relatività è il principio di equivalenza:

un campo gravitazionale omogeneo è del tutto equivalente a un sistema di riferimento

uniformemente accelerato.

Ecco un esempio che chiarisce il principio di equivalenza: Se un'astronave, in assenza di campo

gravitazionale, si muove con accelerazione a, un corpo al suo interno sarà sottoposto ad una forza F

= m ∙ a nel verso opposto a quello del moto.

ferma su un pianeta, agirà una forza pari a F=m∙g. Se

Su un corpo all'interno dell'astronave

poniamo g = -a le due forze (F=ma e F=mg) saranno uguali. Dunque si può concludere che non

esiste alcun esperimento che possa distinguere un moto uniformemente accelerato dalla presenza di

un campo gravitazionale. 12

Uno degli aspetti più interessanti della relatività generale è la nuova concezione di "spazio curvo".

Secondo la teoria Einsteiniana la materia, mediante il campo gravitazionale, agisce sullo spazio

circostante alterandolo.

La relatività non si serve quindi della geometria euclidea, applicabile solamente ad uno spazio

piatto.

La luce ha la proprietà fisica di percorrere geodetiche dello spazio: per esempio un raggio di luce

che ad un osservatore sulla Terra appare

come una traiettoria rettilinea, in realtà

percorre archi di circonferenza. La luce fa

dunque capire che tipo di geometria segue lo

spazio.

Nel 1915 le ipotesi di Einstein sul campo

gravitazionale ebbero una clamorosa

conferma: in quell'anno, infatti, si osservò la

deflessione di un raggio di luce dovuta al

campo gravitazionale solare. Tale

osservazione fu resa possibile da un'eclissi

solare e portò immediatamente fama

internazionale a Einstein.

La figura affianco mostra la deflessione di un

raggio di luce dovuta al campo

gravitazionale solare. Per mettere in

evidenza il fenomeno, l'angolo di deflessione

13

è stato aumentato rispetto a quello reale

Un altro aspetto della relatività generale riguarda la variazione degli intervalli di tempo e quindi

delle frequenze della luce in un campo gravitazionale. L'energia potenziale gravitazionale tra due

masse M e m, distanti tra loro r è: U = - GMm / r

dove G è la costante di gravitazione universale e si è posta l'energia potenziale uguale a zero quando

la distanza tra le masse è infinita. L'energia potenziale riferita all'unità di massa in prossimità di una

:

massa M è chiamata potenziale gravitazionale

 = - GM / r

Secondo la teoria generale della relatività, gli orologi sono più lenti nelle regioni di basso potenziale

gravitazionale (dunque in prossimità della massa). Se t è un intervallo di tempo misurato da un

1



orologio dove il potenziale gravitazionale è e t è lo stesso intervallo misurato da un orologio

1 2



dove il potenziale gravitazionale è la relatività generale prevede che la variazione relativa tra

2

questi tempi sia all'incirca:  2

(t - t ) / t = ( - ) / c

2 1 2 1

(Visto che di solito questa variazione è molto piccola non importa per quale intervallo si divida il

primo membro dell'equazione). Poiché un atomo che vibra può essere considerato come un

orologio, la frequenza di vibrazione in una regione di basso potenziale, come ad esempio in

prossimità del Sole, sarà minore di quella dello stesso atomo sulla Terra. Questo spostamento verso

frequenze più basse e quindi lunghezze d'onda maggiori, è chiamato spostamento gravitazionale

verso il rosso (gravitational red shift).

Altro fenomeno che rientra nelle previsioni della relatività è quello dei buchi neri, previsti per la

prima volta da Oppenheimer e Snyder nel 1939. Secondo la teoria generale della relatività, se la

densità di un corpo, come una stella, è abbastanza grande, l'attrazione gravitazionale sarà così

grande che, una volta all'interno di un certo raggio critico, nulla potrà sfuggire, neanche la luce e le

altre radiazioni elettromagnetiche. Nella meccanica Newtoniana, la velocità necessaria perché una

particella sfugga dal campo gravitazionale di un pianeta o di una stella si trova imponendo che

2

l'energia cinetica mv / 2 sia uguale all'energia potenziale GMm / r. La velocità di fuga che si

ottiene: f2

mv / 2 = GMm / r

f2

v = 2GM / r

(2GM

v = / r)

f

Se uguagliamo la velocità di fuga alla velocità della luce e risolviamo rispetto al raggio, otteniamo

14

il raggio critico R , chiamato raggio di Schwarzschild :

c v = c

f

c=(2GM / R )

c

2

c = 2GM / R

c

2

R = 2GM / c

c

Perché un corpo di massa uguale a quello del nostro Sole (1.99 ∙ 10 30 Kg) sia un buco nero, il suo

raggio deve essere circa 3 Km. Visto che un buco nero non emette alcuna radiazione e ci si aspetta

che il suo raggio sia piccolo, la rivelazione di tale corpo non è facile e per individuarne uno l'unica

possibilità è quella di studiare i suoi effetti sullo spazio circostante ad esso.

Cosmologia

Origini della teoria del Big Bang

Oggi sappiamo che il Sistema solare fa parte della Via Lattea la quale non è altro che una delle

moltissime galassie dell'universo (essa è anche chiamata Galassia).

Meno di un secolo fa si credeva ancora che la Via Lattea costituisse

l'intero universo. Fu soltanto a partire dagli anni '20 che l'astronomo

statunitense Edwin Hubble (1889 - 1953) scoprì che alcuni specifici

oggetti celesti erano esterni alla Via Lattea, e che certi erano

addirittura altre galassie.

Nel 1929, Hubble scoprì anche che pressoché la totalità delle

galassie sembrano allontanarsi da noi. Questo fatto diede

l'impressione che la Terra fosse il centro di un moto generale di

recessione (allontanamento di tutte le galassie da noi). Ben presto si

scoprì invece che questo moto di recessione non ha un centro: ogni

punto del cosmo può essere considerato centro di un moto di

recessione. Le scoperte di Hubble sono considerate l'origine della

cosmologia moderna. La quale non può prescindere anche dalla

rivoluzione operata nella fisica dall'avvento della relatività.

15

La constatazione che l'Universo è in espansione ha obbligato a prendere in considerazione il

problema della sua nascita: siccome le galassie si stanno allontanando l'una dall'altra a una certa

velocità, dobbiamo ammettere che andando indietro nel tempo di miliardi di anni ci fu una

situazione nella quale tutta la materia attualmente componente l'Universo era riunita in un unico

punto. Questa considerazione ha condotto alla teoria evolutiva del "Big Bang", cioè di un'enorme

esplosione iniziale che diede origine all'Universo e che ne causò l'espansione che ancora oggi

osserviamo. Secondo questa teoria, l'Universo primordiale sarebbe stato composto di materia

densissima e caldissima, concentrata in uno spazio infinitesimo. Il suo stato fisico era così estremo

che è difficile perfino da immaginare. Solo la fisica teorica è in grado di descriverlo. Esso sarebbe

quindi esploso e si sarebbe espanso, diventando sempre meno caldo e meno denso, fino ad

assumere gradatamente l'aspetto con il quale oggi lo conosciamo. Dalla legge di Hubble (che

vedremo tra poco) si deduce che l'Universo è nato 15-20 miliardi di anni fa. In realtà, la

determinazione della sua età è molto più complessa e rappresenta uno dei problemi principali che la

cosmologia moderna si trova ad affrontare. Il valore della costante di Hubble attualmente accettato

è compreso tra i 50 e i 100 Km/sec per Megaparsec (ciò significa che le galassie si muovono con

velocità che crescono di 50-100 Km/sec per ogni Megaparsec di distanza da noi).

Il primo a proporre lo scenario di un'esplosione iniziale fu il sacerdote belga G.Lemaitre (1894 -

1966) nel 1927, ma solo negli anni '40 il fisico di origine russa G.Gamow (1904 - 1968) lo affrontò

in modo quantitativo. Egli ipotizzò che i nuclei atomici più leggeri (idrogeno, elio, deuterio e litio)

si siano formati nei primi istanti di vita del cosmo. Successivamente è stato verificato che le

quantità di tali elementi presenti effettivamente nell'Universo corrispondono con quelle previste

dalla teoria, fornendo una prima conferma della sua validità. Un'altra conferma è giunta nel 1965,

quando due ricercatori dei laboratori Bell, Penzias e Wilson, mentre costruivano un rivelatore di

microonde, captarono una debole radiazione che permea tutto l'Universo, proveniente da tutte le

direzioni. Essa ha un massimo di intensità alla lunghezza d'onda di 2.6 cm e viene detta radiazione

di fondo cosmica (CMBR, Cosmic Microwave Background Radiation). Si pensa che sia il residuo

della radiazione intensissima ed altamente energetica che si produsse dopo il Big Bang, allorché