Geometria dell'universo - dalla negazione del v postulato di euclide alle ipotesi

Simone Chiappetta Classe 5 Sezione A Liceo Scientifico Statale “Marie Curie”

Tesina per l'Esame di Stato

A.S. 2007/2008

Geometria dell'universo

Dalla negazione del V postulato di Euclide alle ipotesi sulle possibili forme dell'universo

Matematica

Geometrie non euclidee

• Euclide e i suoi postulati
• Il tentativo di Saccheri
• Dopo Saccheri: Lagrange e Gauss
• La negazione del V postulato: Bolyai-Lobacevskij e Riemann
• Le geometrie non euclidee e i solidi

Fisica

La relatività di Einstein

• Relatività ristretta:
  • Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze
  • Una prova della dilatazione dei tempi: il decadimento dei muoni
• Relatività generale:
  • Principio di equivalenza
  • Spazio curvo e lenti gravitazionali
  • Red shift gravitazionale
  • Buchi neri
  • Cosmologia

Le ipotesi sulla forma dell'universo

• Le origini della teoria del Big Bang
• La costante di Hubble
• Calcolo dell'età dell'universo
• L'espansione dell'universo
• L'isotropia dell'universo
• Orizzonte cosmologico e inflazione
• La materia oscura
• Il destino dell'universo

Appendici

• Escher e l'arte iperbolica
• Bergson e la relatività 1

Bibliografia

Viaggio nel mondo delle geometrie - G. Gallino, D. Periotto, P. Pezzini, G. Pidello, L. Pierpaoli, M. C. Quaranta

Dal Big Bang ai buchi neri, breve storia del tempo - Stephen W. Hawking

Introduzione alla cosmologia - Damiano Caprioli

“Le Scienze”:

Articoli da

• Osservate le galassie più distanti (e antiche) - 11 luglio 2007
• Flash di materia oscura sotto il Gran Sasso - 17 aprile 2008
• Non cambia l'energia oscura - 17 novembre 2006
• Anche i raggi X confermano l'energia oscura - 20 maggio 2004
• Una fotografia dell'universo primordiale - 14 febbraio 2003

La forma dell’universo: dieci possibilità

• 01 febbraio 2003 - Colin Adams, Joey Shapiro
• L'universo inflazionario - 06 maggio 2001
• Confermata l'esistenza della materia oscura - 15 maggio 2000 - Folco Claudi
• L'universo che accelera - 02 maggio 2000 - Folco Claudi

Riassunto di conferenze del dottor Italo Mazzitelli (Ist. Naz. Astrofisica, Tor Vergata, Roma)

A cura di Aiosa Alberto

Ricostruzione del dibattito su Durata simultaneità - Cristina Di Florio

Unione Astrofili Italiani (http://astrocultura.uai.it/)

Nasa (www.nasa.gov)

Hubble Space Telescope (http://hubblesite.org) 2

Geometrie non euclidee

Euclide... Euclide (330 a.C.- 275 a.C. circa) è considerato il più famoso matematico di tutti i tempi.

La sua popolarità è dovuta all'opera Gli Elementi, un trattato che per numero di edizioni e traduzioni può competere con la Divina Commedia dantesca e, forse, è superato solo dalla Bibbia.

Gli Elementi si compongono di 13 libri che raccolgono tutte le conoscenze matematiche del tempo. Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate le definizioni di ciò che verrà trattato successivamente. I principi fondamentali esposti si distinguono in tre categorie: termini o definizioni, teoremi e dimostrazioni e postulati.

Proprio da questi ultimi si inizia per entrare nel discorso delle geometrie non euclidee.

...e i suoi postulati

I postulati o assiomi posti da Euclide sono:

1. Da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto.
2. Ogni retta si può prolungare all'infinito.
3. Con ogni centro e ogni distanza si può descrivere un cerchio.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra di loro.
5. Una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due retti, allora le due rette, prolungate all'infinito, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti.

La geometria costruita dal noto matematico sui suoi postulati si presenta di un rigore ineccepibile ed i postulati non presentano, almeno apparentemente, alcuna difficoltà di accettazione perché esprimono caratteristiche verificabili sperimentalmente ed intuitivamente.

Ma il V postulato già ai matematici dell'epoca appariva piuttosto incerto.

Proclo nel suo Commento al libro I di Euclide lo sostituisce con un'affermazione equivalente:

Dati in un piano una retta ed un punto che si trova al di fuori di essa, esiste una ed una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data.

Intuitivamente la proposizione può sembrare accettabile, ma sperimentalmente non esistono mezzi per giustificarla. Il parallelismo, cioè il non incontrarsi di due rette, non si presenta ad alcuna verifica pratica per i limiti materiali che ci impone il piano su cui disegniamo. Per accettare tale postulato dovremmo prolungare le rette all'infinito ed è chiaro che nessun piano materiale può essere infinito.

Il quinto postulato fu argomento di varie dispute iniziate già nell'antichità:

• Nella prima fase, a cui appartenne Proclo, quindi in tempi relativamente vicini alla formulazione dell'assioma, i matematici cercano di ridefinirlo e riformularlo.
• Nella seconda fase, che inizia nel XVI secolo, si cerca di dimostrarlo, giungendo agli stessi risultati ottenuti nella prima fase.
• Nella terza fase ci si convince dell'impossibilità di dimostrare questo postulato e si costruiscono le prime geometrie non euclidee.

Il tentativo di Saccheri

Nel 1773, il matematico Saccheri, nel suo Euclides ab omni naevo vindicatus, pensò di dimostrare il V postulato a contrariis cioè partendo dalla sua negazione sperando che essa nel suo ragionamento si distrugga da sé, quindi risulti falsa e, di conseguenza, l'assioma sarà vero.

Seguendo il ragionamento del matematico, egli pose un segmento AB, dai quali estremi tirò due segmenti di pari lunghezza e perpendicolari ad AB. Unì i due punti C e D che trovò con i segmenti, costruendo un rettangolo.

Naturalmente gli angoli A e B sono uguali e retti, dato che i segmenti AC e BD sono perpendicolari alla base AB, Saccheri quindi ipotizzò che anche gli angoli C e D fossero simili.

Tali angoli sono anche retti?

Secondo il postulato di Euclide sì (prima ipotesi). Assumiamo ora anche le due ipotesi opposte al postulato: quella per cui entrambi gli angoli sono ottusi (seconda ipotesi) e quella per cui essi sono acuti (terza ipotesi).

Nella seconda ipotesi quindi i due angoli saranno un po' più ampi di due retti, mentre nella terza saranno un po' più piccoli.

Esaminando la validità della seconda ipotesi, il quinto postulato non è di per sé incompatibile con essa, quindi anche i teoremi ad esso connessi dovrebbero essere validi, ma tra questi c'è anche quello della somma degli angoli interni di un quadrilatero che è pari a quella di quattro angoli retti, ma questo assioma non è compatibile sia alla seconda che alla terza ipotesi, poiché nel primo caso la somma sarebbe maggiore, mentre nel secondo minore a quella di quattro angoli retti; allora le ipotesi decadono.

In realtà queste ipotesi non decadono, perché Saccheri ha dimostrato solo l'incompatibilità di tali ipotesi con quella di Euclide.

Dopo Saccheri: Lagrange e Gauss

Con le ipotesi dell'angolo ottuso e dell'angolo acuto lo stesso Saccheri aveva gettato le basi dei due tipi di geometrie non euclidee che saranno definite rispettivamente, dai nomi dei loro elaboratori, geometria di Riemann e geometria di Lobacevskij.

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Ma già prima di questi due matematici Luigi Lagrange intuì geometrie diverse da quella euclidea; solo che egli, vittima del pregiudizio comune, non osò comunicare i suoi risultati, poiché avrebbe dovuto sostenere pubblicamente che ci sono geometrie più “vere”, il che gli sembrava scandaloso.

In ogni caso, nella prima metà dell'Ottocento, venne ripreso il discorso di Saccheri e nacque quella che oggi è definita geometria iperbolica, quella per cui, assunta l'ipotesi dell'angolo acuto, presa una retta ed un punto esterno ad essa è possibile tracciare, non solo una retta parallela, ma ben due.

È solo nella seconda metà dell'Ottocento che venne scoperta la geometria ellittica, costruita sull'ipotesi dell'angolo ottuso, per la quale preso un punto esterno ad una retta non è possibile tracciare alcuna retta parallela alla retta data.

Gauss è considerato il primo matematico ad aver raggiunto la precisa concezione di una geometria indipendente dal quinto postulato, ma non pubblicò i suoi risultati, per lo stesso motivo di Lagrange, ma li inviò al Bolyai padre, il quale impazzì nello studio dell'assioma, di cui aveva intuito l'indipendenza del postulato dai primi quattro, a tal punto di imporre per testamento al figlio Janos di non occuparsi assolutamente di tale problema.

La negazione del V postulato: Bolyai-Lobacevskij e Riemann

Naturalmente, da buon figlio, Janos non ubbidì ai voleri del padre, e quasi contemporaneamente a Nicolaj Lobacevskij, giunse alle stesse conclusioni di quest'ultimo.

Il ragionamento dei due matematici è il seguente:

Dati una retta AB ed un punto P esterno ad essa, sia PO la retta perpendicolare alla retta passante per P. Si consideri il punto D sulla retta AB e si faccia muovere verso OB, in corrispondenza di ogni spostamento, su tale retta, di questo punto, si avrà sempre una secante PC alla retta AB. Si consideri ora la distanza OD tendente all'infinito: troveremo in corrispondenza la retta PL che non intersecherà la retta data e che quindi sarà parallela ad OB. Procedendo in ugual modo per la retta PC, si otterrà che essa è parallela ad OA.

Nella geometria euclidea non consideriamo PM e PL due rette distinte, ma prendendo in considerazione l'ipotesi dell'angolo acuto ecco che esse lo saranno ed inoltre saranno parallele ad AB. 5

Questa dimostrazione, oltre a mostrare che è possibile costruire un sistema geometrico logicamente coerente ad un'ipotesi prescelta e che non solo si dava un'unica geometria vera, ma si dimostrava era basata su un'ipotesi preliminarmente scelta, sanciva il definitivo inizio delle geometrie non euclidee, in particolare di quella iperbolica.

Successivamente, a dar conferma della possibilità di costruire geometrie diverse da quella euclidea fu Riemann che costruì la geometria ellittica.

“Preso un punto ed una retta, si consideri essa illimitata e finita. Preso ora un punto N; esso, spostandosi, tornerà al punto di partenza avendo percorso una distanza di misura finita. Orbene, si può già constatare che due rette si incontrano sempre e necessariamente, in qualunque condizione le si consideri; ossia due rette in uno stesso piano non possono essere considerate parallele, secondo la definizione euclidea. Ma si considerino le perpendicolari ad una retta qualunque. Esse tutte passeranno per lo stesso punto A. Inoltre tale punto risulterà equidistante da tutti i punti della retta data. Prendendo in esame tali perpendicolari anche dalla parte opposta esse si incontreranno nel punto A' e avranno le stesse proprietà viste per il punto A.

Ora si possono distinguere due casi diversi: il primo, in cui A e A' coincidono e darà vita alla geometria ellittica; il secondo, i cui detti punti non coincidono, che darà vita alla geometria sferica.”

Le geometrie non euclidee nei solidi

Per applicare tali geometrie ad una superficie curva, quindi ad un solido, bisogna, innanzitutto, introdurre il concetto di geodetica. Essa è la linea più breve tra due punti. Per immaginarne una pensiamo di prendere un elastico e puntarlo su una sfera in due punti: esso seguirà le circonferenze massime, che sono sempre le linee più brevi tra due punti, come un segmento lo è nella geometria del piano.

Tali geodetiche nel piano sono quindi le rette, quindi percorrere una retta significa “andare sempre dritto”, quindi la geodetica è quella retta che aderisce perfettamente ad una determinata superficie, sempre un esempio pratico potrebbe essere tagliare una strisciolina di carta e applicarla su di una circonferenza, essa seguendo le geodetiche aderisce perfettamente alla superficie, mentre se si provasse a seguire qualsiasi altro percorso, si incresperebbe in alcuni punti.

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Avendo capito il corrispondente di una retta su diverse superfici, possiamo provare a vedere praticamente l'esperimento di Riemann sulla sfera e quindi stabilire noi stessi che il V postulato di Euclide non vale su di essa.

Ancora sulla sfera possiamo dimostrare che l'ipotesi degli angoli ottusi è proprio quella che si adatta alla geometria ellittica: costruendo un triangolo con delle strisce di carta su di un supporto sferico, e successivamente tagliando uno dei tre lati, noteremo che il triangolo si apre, e misurando gli angoli che formano i vari lati troveremo che sono tutti ottusi: questo esperimento si poteva fare direttamente sul mappamondo, prendendo due paralleli perpendicolari e l'equatore. In tal caso avremmo trovato che tutti gli angoli erano retti.

Allo stesso modo possiamo verificare il V assioma sulla pseudosfera. Infatti per un punto esterno ad una geodetica, passano non una, ma ben due geodetiche parallele alla prima.

Sempre allo stesso modo si può verificare che la geometria iperbolica corrisponde all'ipotesi degli angoli acuti, infatti, costruendo sempre un triangolo di carta con le geodetiche di una pseudosfera, e tagliando uno dei lati, questo si richiuderà su se stesso dato che gli angoli sono tutti acuti e quindi minori di 90°.

La relatività

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Nel 1919 Einstein scrisse per il "London Times" un articolo ("Che cos'è la teoria della relatività?") in cui spiegava ad un pubblico di non specialisti la sua celebre teoria.

«…la teoria della relatività assomiglia ad un edificio a due piani separati: la teoria speciale e la teoria generale.

La teoria speciale si applica a tutti i fenomeni fisici tranne la gravitazione. La teoria generale conduce alla legge della gravitazione e alle relazioni di essa con altre forze della natura.»

La teoria della relatività speciale o ristretta fu formalizzata per la prima volta attraverso un saggio pubblicato nel 1905. Successivamente, nel 1916, il fisico propose una nuova teoria (la teoria della relatività generale) che superava la precedente, includendola come caso limite. Tre anni dopo, nel 1919, questa teoria ebbe, ad opera di Eddington, una clamorosa conferma sperimentale.

Relatività ristretta

La relatività ristretta di Einstein si basa essenzialmente su due postulati che possono essere enunciati come segue:

1. Il moto assoluto uniforme non può essere rivelato.
2. La velocità della luce è indipendente dal moto della sorgente.

Sostanzialmente il primo postulato era già noto dal XVII secolo ed era stato formalizzato come principio di Newton: nella relatività Einsteiniana, però, questo principio viene esteso non solo ai fenomeni meccanici ma include tutti i tipi di misure fisiche.

Ognuno dei due postulati sembrerebbe ragionevole: eppure dai due postulati presi insieme derivano alcune implicazioni che contraddicono il senso comune, cioè il nostro modo intuitivo di concepire la realtà. Una conseguenza immediata di questi postulati è che: ogni osservatore misura lo stesso valore per la velocità della luce, indipendentemente dal moto relativo della sorgente e dell'osservatore.

Facciamo un esempio per capire meglio quest'ultima affermazione. Consideriamo una sorgente luminosa S e due osservatori O e O, uno fermo e l'altro in movimento verso S con velocità V.

1 2 8 è c = 3 ∙ 10 8

Naturalmente la velocità della luce misurata da O m/s. La velocità della luce misurata da O non è c + v, come ci si potrebbe aspettare. In base al 1° postulato la figura A è equivalente alla figura B.

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Dove vediamo O fermo, mentre S e O si muovono verso destra con velocità V (il moto assoluto non può essere rivelato quindi non possiamo sapere se è O in movimento verso S come nella figura A oppure se S e O si muovono verso destra con velocità V come nella figura B). Per il secondo postulato O vede che la velocità della luce è uguale a c visto che questa è indipendente dal moto della sorgente.

Da questo esempio si può capire come le nostre idee intuitive sulla composizione delle velocità non valgono più se si considerano velocità prossime a c.

Dilatazione dei tempi e contrazione delle lunghezze

Einstein riuscì a dimostrare che le ampiezze degli intervalli di tempo e di spazio tra due eventi dipendono dal sistema di riferimento nel quale si osservano gli eventi.

Prendiamo ora in esame il problema della dilatazione dei tempi.

Consideriamo un sistema S formato da una sorgente luminosa A e da uno specchio posto ad una distanza D dalla sorgente (fig. C).

Si consideri un raggio luminoso (velocità c) che esce dalla sorgente A e vi ritorni dopo essere stato riflesso dallo specchio. Lo spazio percorso dal raggio luminoso è uguale a 2D e il tempo impiegato è: t = 2D/c.

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Consideriamo ora il sistema S (specchio-sorgente) in movimento rispetto ad un sistema S immobile (fig. D).

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Come si può notare il raggio luminoso, visto dal sistema S, compie un tragitto più lungo rispetto a quello compiuto in S.