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E' dato il fascio di rette di equazione

[math](k+2)x+(3-k)y+k+1=0[/math]

Determinare:

1)La natura del fascio

2) I valore del parametro della retta che intersecando gli assi forma un triangolo di superficie 1.

Vediamo se il fascio è proprio, osservando il coefficiente angolare

[math]-a/b=-(k+2)/(3-k)=(k+2)/(k-3)[/math]

Il fascio è proprio in quanto al variare di k varia il coefficiente angolare.

Per trovare le rette generatrici svolgiamo le parentesi e raccogliamo k

[math]kx+2x+3y-ky+k+1=0[/math]

[math]2x+3y+1+k(x-y+1)=0[/math]

Quindi

[math]2x+3y+1=0[/math]

[math]k=0[/math]

[math]x-y+1=0->k=oo[/math]

(retta critica)

Intersecando le rette generatrici, otteniamo il centro del fascio.

Si può procedere anche ponendo

[math]k[/math]

i modo tale che il fascio "perda" un termine tra

[math]x[/math]

[math]y[/math]

, ad esempio avendo

[math](k+2)x+(3-k)y+k+1=0[/math]

poniamo

[math]k=3[/math]

ottenendo

[math](3+2)x++0+3+1=0[/math]

e questa retta è quella verticolare del fascio.

Ponendo poi

[math]k=-2[/math]

si ottiene quella orizzontale, e possiamo intersecare le due per trovare il centro.

Chiamiamo A il punto di intersezione con l'asse x e B quello con l'asse y. O è l'origine.

Il triangolo

[math]stackrel(Delta)(AOB)[/math]

è rettangolo, pertanto l'area è espressa come semipordotto dei cateti, che sono

[math]\bar{AO}[/math]

[math]\bar{BO}[/math]

[math](AO \cdot BO)/2=1/2[/math]

(1)

Troviamo ora il modo di esprimere i due lati.

Intersecando il fascio con l'asse x, troviamo l'ascissa del punto A, che dipenderà da k

[math]\begin{cases} (k+2) x + (3-k) y + k + 1 = 0 \ \end{cases}[/math]

ottenendo

[math]x=-(k+1)/(k+2)=AO[/math]

Facendo altrettanto con l'asse x, ottengo

[math]\begin{cases} (k+2)x+(3-k)y+k+1=0 \\ x=0 \ \end{cases}[/math]

[math]y=-(k+1)/(3-k)=BO[/math]

Quindi, ricordando l'equazione (1) avremo

[math](-(k+1)/(k+2)) \cdot (-(k+1)/(3-k))=2[/math]

semplice equazione che restituisce due valori

[math]k=\sqrt{11/3}[/math]

[math]k=-\sqrt{11/3}[/math]

FINE

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Alessandro

Salve, sono uno studente del liceo scientifico, volevo suggerire di aggiungere in questo articolo che il centro di un fascio di rette che presenta una variabile nell'equazione può essere più semplicemente calcolato ponendo K=n tale che si annulli prima l'ordinata e poi l'ascissa o viceversa sviluppando poi l'equazione ad una sola incognita per ottenere le coordinate del centro del fascio.
Cordiali saluti

30 Ottobre 2007

Stefano Sannella

Grazie per l'intervento, ho aggiunto quanto hai proposto.

13 Novembre 2007

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