Dato il fascio di rette di equazione
[math](2-k)x + 3(2-k)y + 3k = 0[/math]
dopo aver verificato che si tratta di un fascio improprio, determinare:
-
le rette del fascio che distano [math]\sqrt{10}[/math]dal punto[math](2;0)[/math];
-
se la retta [math]x + 3y - 5 = 0[/math]appartiene al fascio.
Svolgimento (0)
Un fascio di rette si dice proprio se ogni sua retta passa per uno stesso punto, detto centro del fascio. Se, invece, tutte le rette sono parallele fra loro, il fascio si dice improprio.Per stabilire la natura del fascio occorre osservare se il coefficiente angolare
[math]- a/b [/math]
dipende o meno dal parametro [math]k[/math]
:
[math] m = - a/b = - frac(2-k)(3(2-k)) = - 1/3 [/math]
[math] 2-k ?0 k ?2 [/math]
Il coefficiente angolare non dipende dal parametro
[math]k[/math]
, quindi il fascio di rette improprio.
Svolgimento (1)
Troviamo le rette del fascio che distano[math]\sqrt{10}[/math]
dal punto [math]A (2;0) [/math]
; poniamo quindi che:
[math] d (r;A) = \sqrt{10} [/math]
Sapendo che tutte le rette del fascio hanno coefficiente angolare
[math]- 1/3 [/math]
, apparterranno al fascio tutte le rette del tipo:
[math] x + 3y + c = 0 [/math]
Calcoliamo quindi la distanza fra questa retta generica e il punto
[math]A (2;0) [/math]
:
[math] d (r;A) = frac(| ax_0 + by_0 + c |)(\sqrt{a^2 + b^2}) = frac(| 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + c |)(\sqrt(1^2 + 3^2)) = [/math]
[math]frac(| 2 + c |)(\sqrt{1 + 9}) = frac(| 2 + c |)(\sqrt(10)) [/math]
Sapendo che questa distanza deve essere
[math]\sqrt{10}[/math]
poniamo che:
[math] frac(| 2 + c |)(\sqrt{10}) = \sqrt{10} [/math]
Risolviamo lequazione e troviamo c:
[math] | 2 + c | = 10 o 2 + c = - 10 ? 2 + c = 10[/math]
[math] 2 + c = 10 o c = 8 [/math]
[math] 2 + c = - 10 o c = - 12 [/math]
Avremmo cos due rette:
[math] r_1 = x + 3y + 8 = 0 [/math]
[math] r_2 = x + 3y - 12 = 0 [/math]
Svolgimento (2)
Verifichiamo ora se la retta[math] x + 3y - 5 = 0 [/math]
appartiene al fascio. Essendo un fascio improprio, apparterranno al fascio tutte le rette di coefficiente angolare [math]- 1/3[/math]
, appartengono al fascio.Calcoliamo quindi il coefficiente angolare della retta in questione:
[math] m = - 1/3 [/math]
La retta appartiene al fascio.
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