Limiti finiti - Proprietà

Analisi

Appunto di Matematica che spiega le proprietà e i teoremi che si applicano al calcolo dei limiti finiti, comprende le funzioni somma, prodotto e quoziente.

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Sintesi

Proprietà dei Limiti Finiti

Teorema dell’Unicità del limite.
Il limite quando esiste è unico.

DIMOSTRAZIONE: supponiamo che

[math]\lim_{x\to x_0} f(x)=l_1,\qquad \lim_{x\to x_0} f(x)=l_2,\qquad l_1 < l_2[/math]

Dalla definizione di limite abbiamo

Possiamo scegliere

[math]\epsilon=\frac{l_2-l_2}{2}>0[/math]

: in tal caso valgono entrambe le definizioni precedenti e si ha per la funzione

[math]\frac{3l_2-l_2}{2}< f(x) <\frac{l_1+l_2}{2},\qquad \frac{l_1+l_2}{2}< f(x) <\frac{3l_2-l_1}{2}[/math]

Ma questo implicherebbe che la funzione assume valori in due intervalli diversi e disgiunti, e ciò non è possibile (va contro la definizione stessa di funzione che ad ogni valore di

[math]x[/math]

fa corrispondere un solo valore di

[math]f(x)[/math]

).

Secondo Teorema.
Se esistono i limiti finiti
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1,\ \lim_{x\to x_0}g(x)=l_2,\ l_1,l_2\in\mathbb{R}[/math]

allora esiste il limite, finito, della funzione somma (o differenza):

[math]\lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]=l_1+l_2\\
\lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)]=l_1-l_2[/math]

Terzo Teorema.
Se esistono i limiti finiti
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1,\ \lim_{x\to x_0}g(x)=l_2,\ l_1,l_2\in\mathbb{R}[/math]

allora esiste il limite, finito, della funzione prodotto:

[math]\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=l_1\cdot l_2[/math]

e che, qualunque sia l’esponente:

[math]\lim_{x\to x_0}[f(x)]^k=l_1^k[/math]

Quarto Teorema.
Se esistono i limiti finiti
[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l_1,\ \lim_{x\to x_0}g(x)=l_2,\ l_1,l_2\in\mathbb{R},\ l_2\not=0[/math]
allora esiste il limite, finito, della funzione quoziente:

[math]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{l_1}{l_2}[/math]

Quinto Teorema.
Se esiste il limite finito
[math]\lim_{x\to x_0} f(x)=l,\ l\in\mathbb{R}[/math]
e se
[math]k\in\mathbb{R}[/math]
allora k può essere estrapolato dal limite:

[math]lim_{x\to x_0}[k\cdot f(x)]=k\cdot lim_{x\to x_0}f(x)= k\cdot l[/math]

Alcune osservazioni sul limite del quoziente
Se esiste il limite finito:

[math]\lim_{x\to x_0}f(x)=l,\ l\in\mathbb{R}[/math]

allora esistono i limiti:

[math]\lim_{x\to x_0}\frac{1}{f(x)}=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{1}{l} & & l\not=0\\ +\infty & & l=0^+\\ -\infty & & l=0^-
\end{array}\right.[/math]

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