Teoremi sui limiti e forme di indeterminazione

In questo appunto di matematica verranno dimostrati i teoremi più importanti dei limiti, cioè il teorema di permanenza del segno, del confronto e di unicità del limite. Inoltre verranno definite le forme indeterminate dei limiti.

Teoremi sui limiti

I principali teoremi sui limiti sono tre:

• Teorema di unicità del limite;
• Teorema della permanenza del segno;
• Teorema del confronto.
  

Nei prossimi paragrafi verranno analizzati uno per uno.

Teorema di unicità del limite

Ragionando per assurdo, supponiamo che

abbia contemporaneamente limite

e

, con

.
Consideriamo quindi un numero

tale che:

Dalla definizione di limite deduciamo che esiste un intorno

di

tale che per tutti gli

vale che:

Analogamente esiste un intorno

di

tale che per tutti gli

, si ha che:

Per i punti che appartengono all’intersezione tra i due intorni

e

le due disuguaglianze valgono contemporaneamente quindi:

In particolare poiché per qualsiasi coppia di numeri reali

e

vale che:

Considerando che

e

si ha che:

In particolare, poichè

si ha che:

Questo è assurdo perché va contro l'ipotesi iniziale

.
Quindi se

ammette limite esso deve essere unico come volevasi dimostrare.

Per ulteriori approfondimenti sul teorema di unicità del limite vedi anche qua

Teorema di permanenza del segno

Siano

e

due numeri reali.
Se:

Allora esiste un intorno

del punto

per cui se calcoliamo la funzione

in tutti i punti del suo dominio, essa assume lo stesso segno del limite.

Dimostrazione:
Dalla definizione di limite abbiamo che qualsiasi sia

esiste un intorno

di

tale che

vale che:

Dato che questa relazione vale per ogni

, possiamo scegliere:

E quindi avremo nel corrispondente intorno

di

:

In particolare se

,

e quindi:

Quindi in tale intorno

assume valori negativi, cioè mantiene lo stesso segno del suo limite.

Per ulteriori informazioni sul teorema di permanenza del segno vedi anche qua

Teorema del confronto

Sia

un punto di accumulazione per il dominio di tre funzioni

.
Siano definite le tre funzioni in un intorno di

che chiameremo per comodità

.
Ipotizziamo che:

• [math]f(x) \geq g(x) \geq h(x),\ \forall\ x\in I [/math]
• [math]\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=l,\ \forall\ l\in \Re [/math]

Allora si avrà:

Quindi il teorema dei carabinieri ci dice che: “Se

è compresa tra due funzioni di cui conosciamo il limite, allora anche il limite di

è uguale a quel limite.”

Dimostrazione:
Dalla seconda ipotesi si ha che i limiti delle funzioni esterne esistono e sono finiti.
Dalla definizione di limite si ha che:

Se:

Si ha che:

Inoltre, dalla definizione di limite si ha che:

Se:

Allora risulta che:

Scegliendo

si ricava la seguente condizione considerando le relazioni sopra ottenute:

Da cui:

Varrà sicuramente:

Che, considerando la definizione di limite si ottiene:

Per ulteriori approfondimenti sul teorema del confronto vedi anche qua

Forme indeterminate dei limiti

Le forme indeterminate sono operazioni che possono coinvolgere sia infiniti che infinitesimi mentre si effettuano dei calcoli con i limiti, per i quali non è possibile determinare un risultato a priori.
Le forme indeterminate principali sono sette:

• [math][\frac{0}{0}][/math]
• [math][\frac{\infty}{\infty}][/math]
• [math][0 \cdot \infty][/math]
• [math][\infty - \infty][/math]
• [math][0^{\infty}][/math]
• [math][1^{\infty}][/math]
  ;
• [math][{\infty}^0][/math]