Limiti notevoli

Vi sono alcuni casi in cui, per determinate funzioni, non possibile calcolare immediatamente un limite. Tuttavia, pu essere dimostrato come tali funzioni tendano ad un valore particolare; questo tipo di funzioni d luogo a dei limiti particolari, che vengono chiamati limiti notevoli.

Vediamo i limiti notevoli pi importanti.

Limiti notevoli per x che tende a zero

I seguenti limiti notevoli, che valgono per x che tende a zero, riguardano funzioni i cui limiti presentano forme di indeterminazione del tipo:

(displaystyle [+infty -infty], [0cdot infty], Big[frac{0}{0}Big], Big[frac{infty}{infty}Big] )

• Il seguente limite notevole riguarda le funzioni logaritmiche; si pu applicare sia nel caso di una base generica a del logaritmo, sia nel caso in cui la base sia il numero di Nepero e.

[ lim_{x
ightarrow 0} frac{log_a (1+x)}{x} = log_a e mbox{ , } lim_{x
ightarrow 0} frac{log(1+x)}{x} = 1 ]

• Il limite notevole seguente riguarda le funzioni esponenziali, ed valida nel caso in cui la base dellespo2nenziale sia positiva:

[lim_{x
ightarrow 0} frac{a^x-1}{x} = log a ,,,, , ,,,, a in mathbb{R^{+}} ]

Il limite precedente si pu applicare anche nel caso in cui a = e, e si ha:

[ lim_{x
ightarrow 0} frac{e^x - 1}{x} = 1 ]

• Il seguente limite notevole riguarda le funzioni goniometriche e, in particolare, afferma che il rapporto fra il seno di un angolo e la misura in radianti dellangolo stesso tende a 1 quando langolo tende a zero:

[ lim_{x
ightarrow 0} frac{sin x}{x} = 1 ]

Esempio: Calcoliamo il seguente limite:

[ lim_{x
ightarrow 0} frac{2x + sin x}{x} ]

Le funzioni che compaiono al numeratore e al denominatore sono funzioni continue; tuttavia, se sostituiamo 1 alla x ci accorgiamo che il limite si presenta nella forma indeterminata [0/0].

Per risolvere tale limite, quindi, dobbiamo cercare di trasformare la funzione, e ricondurla a dei limiti che conosciamo. Possiamo, per esempio, separare i due addendi del numeratore e dividerli per il denominatore in questo modo:

(displaystyle lim_{x
ightarrow 0} frac{2x+sin x}{x} =lim_{x
ightarrow 0} frac{2x}{x} + frac{sin x}{x} = lim_{x
ightarrow 0} 2 + frac{sin x}{x} ]

Notiamo, quindi, che nella funzione cos trasformata compare il limite notevole che abbiamo esposto in precedenza; sapendo quindi che, per x ? 0 la funzione senx/x tende a 1, il limite dellesercizio pu essere risolto in questo modo:

[ lim_{x
ightarrow 0} 2 + frac{sin x}{x} = 2 + 1 = 3 ]

• Un altro limite notevole molto importante riguarda il coseno di un angolo, ed il seguente:

[ lim_{x
ightarrow 0} frac{1-cos x}{x^2} = frac{1}{2} ]

Vi sono, poi, altri casi in cui non possibile determinare immediatamente il limite di funzioni, poich esse presentano altre forme di indeterminazione, che possono essere di questo tipo:

( Big[0^0Big], Big[infty^0Big], Big[1^inftyBig] )

Molto spesso, le funzioni che presentano questo tipo di indeterminazione sono quelle della forma:

( y = [f(x)]^{g(x)} )

Non possiamo dare un metodo preciso che permetta di risolvere questi limiti, ma nella maggior parte dei casi, conviene trasformare la funzione in esponenziale per mezzo della seguente trasformazione:

( y = e^{g(x) log[f(x)]} )

Altre volte, possiamo ricondurci ad uno dei seguenti limiti notevoli:

• Il seguente limite vale per x che tende allinfinito, ed uguale ad e ( numero di Nepero ):

[ lim_{x
ightarrow infty} Big( 1 + frac{1}{x}Big)^x = e ]

• Dal limite precedente, possiamo ricavare unimportante conseguenza; per x che tende a zero, infatti, si ha che:

[ lim_{x
ightarrow 0} (1+x)^{frac{1}{x}} = e ]

Esempio: Calcoliamo il seguente limite:

[ lim_{x
ightarrow +infty} Big(frac{1}{x}Big)^{frac{1}{log x+3}} ]

Questo limite si presenta nella forma indeterminata

, e quindi, non possiamo calcolare immediatamente il suo valore. Quindi, cerchiamo di trasformare la funzione, rendendola in forma esponenziale:

( displaystyle lim_{x
ightarrow +infty} Big( frac{1}{x}^{frac{1}{log x + 3}}Big) )

Ricordando le propriet dei logaritmi, la funzione che si trova ad esponente pu essere scritta nel seguente modo:

[ lim_{x
ightarrow + infty} e^{frac{1}{log x + 3}log(frac{1}{x})} = lim_{x
ightarrow + infty} e^{frac{log 1-log x}{log x + 3}} = lim_{x
ightarrow + infty} e^{frac{-log x}{log x + 3}} ]

Questa scrittura non ci permette ancora di calcolare il valore del limite, in quanto la funzione che si trova ad esponente presenta una forma di indeterminazione del tipo [?/?]. Procediamo, quindi, mettendo in evidenza, a numeratore e a denominatore, ( log x):

Possiamo ora semplificare la funzione ad esponente, ed eliminare cos lindeterminazione:

[ lim_{x
ightarrow + infty} e^{frac{-log x}{log x cdot Big(1+frac{3}{log x}Big)}} = lim_{x
ightarrow + infty} e^{frac{-1}{1+frac{3}{log x}}} ]

Ora, sapendo che ( log x ) tende allinfinito, la frazione che con denominatore ( log x ) tende a zero; di conseguenza, la funzione che fa da esponente tende a -1. Il limite, quindi vale 1/e:

( lim_{x
ightarrow + infty} e^{frac{-1}{1+frac{3}{log x}}} = e^{frac{-1}{1}} = e^{-1} = frac{1}{e} )