Limiti delle funzioni razionali

Limiti delle funzioni razionali intere

Una funzione razionale intera pu essere espressa come un polinomio in x, cio una funzione f(x) razionale intera di questo tipo:

Sappiamo che un polinomio una funzione continua per ogni x reale, in quanto formato da monomi, che sono funzioni continue su tutto R. Quindi, per calcolare il limite di una funzione razionale intera, per x che tende ad un valore reale c, basta calcolare il valore che assume la funzione per x = c:

Per

Se, invece, vogliamo calcolare il limite di una funzione razionale intera per x che tende all'infinito, si potrebbero presentare dei casi di indeterminazione del tipo

dato il limite:

raccogliamo a fattore comune la x con grado massimo:

In questo modo, sapendo che ogni potenza di x tende all'infinito, per

In questo modo, abbiamo eliminato l'indeterminazione del limite, in quanto per la parte restante si ha una forma del tipo

Possiamo, in generale, affermare che per ogni funzione razionale intera, il limite per

Il segno di tale limite si può determinare con la regola dei segni.

Limite delle funzioni razionali fratte

Una funzione razionale fratta una funzione che si pu esprimere come rapporto di polinomi, cio del tipo:

Le funzioni che compaiono al numeratore e al denominatore sono funzioni continue per ogni x reale, quindi anche f(x) è una funzione continua su tutto R. Vediamo, ora, tra casi possibili che si possono presentare quando

• Se
  [math] Q(c) \neq 0 [/math]
  , essendo f(x) una funzione continua, il limite si può ottenere semplicemente calcolando il valore che f(x) assume per x = c, quindi:
  [math]\displaystyle\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)[/math]
• Se
  [math] Q(c) = 0[/math]
  e
  [math]P(c) \neq 0 [/math]
  , abbiamo il limite di una funzione il cui denominatore tende a zero, mentre il numeratore tende ad una valore diverso da zero; sappiamo che questo limite fa infinito:
  [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} f(x) = \infty [/math]
• Se entrambe le funzioni in c assumono il valore zero, cioè Q(c) = 0 e P(c) = 0, allora ci troviamo di fronte alla forma indeterminata
  [math] 0/0 [/math]
  . In questo caso, per eliminare l'indeterminazione, dobbiamo cercare di scomporre i polinomi in fattori e di semplificarli; ricordiamo che, per il teorema del resto, i polinomi sono divisibili per
  [math] x - c[/math]
  , quindi per scomporre in fattori numeratore e denominatore basterebbe dividerli per il binomio x-c.

Consideriamo il seguente limite:

cioè il limite per

Per le funzioni razionali intere, possiamo raccogliere a fattore comune la x di grado massimo, sia nel numeratore che nel denominatore:

Notiamo ora che, dato che x tende all'infinito, tutte le frazioni che hanno una potenza di x al denominatore tendono a zero, quindi il valore del limite dipende solo dai monomi di grado massimo del numeratore e del denominatore. Distinguiamo tre casi:

• Se n > m, l'esponente di x è positivo, quindi il limite della funzione è infinito; in particolare, si ha che:
  [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^{n-m} = +\infty\, \, \, \, , \, \, \, \, \lim_{x \rightarrow -\infty} x^{n-m} = [/math]
  [math] \displaystyle = \begin{cases} +\infty&n-m&\mbox{pari} \\ -\infty&n-m \mbox{ dispari} \end{cases} [/math]
• Se n [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x^{n-m} = \lim_{x \rightarrow\infty} \frac{1}{x^{m-n}} = 0 [/math]
• Se n = m, allora l'esponente di x è uguale a zero, quindi la potenza di x, con esponente n - m, è uguale ad 1; il limite della funzione dipende, quindi, dal rapporto dei coefficienti della x di grado massimo dei due polinomi:
  [math] \displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}x^{n-m} = \lim_{x \rightarrow \infty} 1 = 1 R\rightarrow \lim_{x \rightarrow\infty} f(x) = \frac{a_n}{b_n} [/math]