Integrali immediati: quali sono e come risolverli

Questo appunto di Analisi Matematica tratta il concetto di integrali immediati, partendo da una breve introduzione e definizione dell’argomento, pero poi riassumere in una lista tutti gli integrali delle funzione notevoli, così come fatto per le derivate fondamentali. In fine, sono presenti anche dei link di approfondimento di quanto trattato e accennato in questo appunto, la cui lettura si consiglia vivamente al fine di ottenere una completa ed esauriente comprensione non solo del concetto generale, ma anche e soprattutto dei casi particolari analizzati.

Integrali: definizione

L’Integrale è un operatore matematico che, data una funzione

di una sola variabile

a valori reali non negativi, permette di associare a tale funzione:

• l'area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo
  [math][a,b] [/math]
  nel dominio, nel caso di integrale definito; inoltre, se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale può essere interpretato geometricamente come l'area orientata sottesa dal grafico della funzione.
• l’antiderivata o primitiva della funzione, nel caso di integrale indefinito.

In particolare, il simbolo utilizzato per indicare l’integrale è

, e la funzione

prende il nome di funzione integranda.

Ad ogni modo, il simbolo utilizzato è lo stesso, con l’unica differenza che nel primo caso vengono specificati anche gli estremi di integrazione

, quindi avremo

.
Dopo questa breve introduzione sul concetto di integrale, vedremo come poter risolvere analiticamente un’integrale.

Risoluzione degli Integrali

In questo paragrafo vedremo quali sono i passaggi matematici da fare per poter risolvere un’integrale, sia esso definito o indefinito.
Per poter capire come risolvere un’integrale, consideriamo il caso più generico possibile, ovvero vogliamo calcolare il valore dell’integrale di una generica funzione

, quindi scriveremo:

. Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, si tratta di un’integrale indefinito quindi quello che dobbiamo trovare è la cosiddetta primitiva, ovvero quella funzione

la cui derivata coincide con

.

Inoltre, trattandosi di un’integrale indefinito, dobbiamo considerare tutta la famiglia delle possibili primitive, quindi dobbiamo aggiungere anche una costante

. Quindi avremo che:

Bene, facciamo adesso alcuni esempi per comprendere meglio quanto detto.
Partiamo dal caso più semplice, ovvero quando

cioè è costante. Per risolvere l’integrale, dobbiamo trovare quella funzione

tale che la sua derivata è pari alla costante

. In termini matematici possiamo scrivere che:

In questa modo abbiamo ottenuto la primitiva, ma come detto prima, dobbiamo trovare la famiglia delle primitive (cioè dobbiamo sommare la costante

, quindi avremo:

Se si fosse trattato di un’integrale definito invece, avremmo scritto che:

.

In questo caso la funzione non dipende da

, perché si tratta di una funzione costante, quindi assume lo stesso valore in entrambi gli estremi, conseguentemente la differenza è nulla.
Consideriamo adesso il caso di una funzione lineare, ovvero

, il ragionamento da seguire è:

Allo stesso modo, se avessimo voluto calcolare il valore dell’integrale definito, avremmo scritto:

.

Una volta visto come risolvere un’integrale, possiamo passare alla lista degli integrali fondamentali nel prossimo paragrafo.

Integrali immediati

Come abbiamo visto nel paragrafo precedente, la risoluzione di un integrale richiede diversi passaggi matematici (non sempre semplici), per questo motivo è conveniente conoscere il risultato degli integrali fondamentali, ovvero degli integrali relativi alle funzione fondamentali. Quando parliamo di funzioni fondamentali o elementari, parliamo delle funzioni notevoli che ricorrono maggiormente in analisi matematica. In questo modo, quando dobbiamo risolvere gli integrali più complessi (ad esempio nel caso di funzioni composte, del prodotto o rapporto di due funzioni ecc…) possiamo utilizzare quelle note per risolvere, semplificare i passaggi necessari per la risoluzione dell’integrale. Per semplicità abbiamo utilizzato solo l’integrale indefinito, ma ovviamente potete utilizzare la seguente lista anche per gli integrali definiti, ricordando di togliere la costante

e sostituire il valore della funzione quando

è pari agli estremi di integrazione.

Arrivati a questo punto, ecco a voi la lista degli integrali delle funzioni notevoli:

• [math]\int a ,dx= ax + C[/math]
• [math]\int x^n ,dx= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C[/math]
• [math]\int e^x ,dx= e^x + C[/math]
• [math]\int a^x ,dx= \frac{a^x}{\ln{a}} + C[/math]
• [math]\int \frac{1}{x} ,dx= \ln{x} + C[/math]
• [math]\int \sin{x} ,dx=- \cos{x} + C[/math]
• [math]\int \sinh{x} ,dx=\cosh{x} + C[/math]
• [math]\int \cos{x} ,dx= \sin{x} + C[/math]
• [math]\int \cosh{x} ,dx= \sinh{x} + C[/math]
• [math]\int \frac{1}{\cos{x}^2} ,dx= \tan{x} + C[/math]
• [math]\int \frac{1}{\sin{x}^2} ,dx= -\cot{x} + C[/math]
• [math]\int \frac{1}{1+x^2} ,dx= \arctan{x} + C[/math]
• [math]\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,dx= \arcsin{x} + C[/math]

Al fine di valutare la vostra capacità di comprensione di quanto appena detto, potete provare a risolvere gli integrali sopra elencati autonomamente, con tutti i passaggi, step dopo step. Questo è un ottimo esercizio di compressione, ripasso e anche di autovalutazione.
Ad ogni modo, prima di procedere con in passaggi matematici, è consigliabile consultare i link di approfondimento presenti nel prossimo paragrafo.

Link di approfondimento per gli integrali immediati

In questo paragrafo sono presenti dei link di approfondimento relativi ai concetti trattati e menzionati in questo appunto:

• Integrale definito;
• Integrale indefinito;
• derivata di una funzione;
• derivate notevoli;