Funzione - Storia e descrizione

In questo appunto vengono approfondite le funzioni, viene descritto brevemente il percorso storico che ha portato alla definizione del termine, vengono definite le proprietà e le classificazioni dei diversi tipi di funzione.

La funzione

Gottfried Leibnitz fu il primo matematico ad utilizzare il termine funzione; con questo termine indicava una quantità che varia da un punto a un punto in una curva.
Nella metà del XVIII secolo Eulero usò la parola funzione per descrivere un'espressione o una formula che coinvolge vari argomenti.
Verso la fine del XIX secolo i matematici hanno tentato di formalizzare l'intera matematica servendosi della teoria degli insiemi ed è da qui che nasce la definizione formale di funzione, introdotta dal matematico americano Tom Mike Apostol nel 1923 che definisce la relazione dove ogni elemento del primo insieme fa corrispondere uno e un solo elemento del secondo insieme; il primo insieme si chiama dominio, il secondo insieme si chiama codominio.

Gli elementi del dominio prendono il nome di variabili indipendenti invece gli elementi del codominio prendono il nome di variabili dipendenti.
In genere la variabile indipendente viene indicata con la generica lettera x, mentre la variabile dipendente viene indicata con y o con l’espressione f(x), una funzione quindi associa ad ogni valore di x un certo valore y.
Data una funzione è possibile tracciare un grafico in cui nell’asse orizzontale (asse delle escisse) vengono riportati i valori delle x mentre nell’asse verticale (asse delle ordinate) viene rappresentato il corrispondente valore delle y (tale sistema di assi prende il nome di piano cartesiano).
Per ulteriori approfondimenti sullo studio di funzione vedi anche qua

Classificazione delle funzioni

È possibile classificare le funzioni in base ad alcune caratteristiche; in seguito riportiamo alcuni metodi di classificazione.
Abbiamo vari tipi di funzioni:

• Funzione iniettiva se a due elementi diversi corrispondono due immagini diverse.
• Funzione suriettiva se l'insieme delle immagini del dominio ricopre tutte le immagini del codominio.
• Se la funzione è sia iniettiva che suriettiva si dice BUNIVOCA.

Le funzioni si possono inoltre classificare in:

• Funzioni algebriche (in cui compaiono solo operazioni di tipo algebrico: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza);
Esempi di funzioni algebriche sono:
[math]f(x)=x , f(x)=x^2 + 1 ,
f(x)=\frac{1}{x} , f(x)=\sqrt{x}[/math]
• Funzioni trascendenti, che possono essere: logaritmiche, esponenziali e trigonometriche.

Noi ci occuperemo solo delle funzioni algebriche che si dividono in 3 gruppi: razionali intere, razionali fratte e irrazionali:

• Si chiamano funzioni razionali intere quelle funzioni che sono costituite da polinomi cioè dove la x non compare al denominatore e il dominio è sempre tutto R, insieme dei numeri reali.
  Esempi di funzioni razionali intere sono:
  
  [math]f(x)=x , f(x)=x^2+1 , f(x)=x^3+x^2 , f(x)=\frac{x^2+1}{3}[/math]

  Dalle frazioni appena riportate si può notare che le funzioni razionali intere possono presentare un denominatore, la cosa importante è che a denominatore non ci sia la variabile x.

• Si chiamano funzioni razionali fratte quelle funzioni che sono costituite da polinomi dove la x compare al denominatore e il dominio è tutto R tranne i numeri che annullano il denominatore.
  Esempi di funzioni razionali fratte sono:
  
  [math]f(x)=\frac{1}{x} , f(x)=\frac{1}{x^2-1}[/math]

  Data una funzione fratta è necessario calcolare il dominio, per fare ciò è sufficiente porre diverso da zero il denominatore e trovare i valori che soddisfano tale disuguaglianza.
  Riportiamo in seguito il procedimento che permette di trovare il dominio delle funzioni razionali fratte riportate in precedenza.
  Nella prima funzione il denominatore è x perciò per trovare il dominio è necessario porre

  [math]x \neq 0[/math]

  In questo caso non è necessario eseguire passaggi ulteriori in quanto il dominio sarà tutto R a eccezione del valore

  [math]x=0[/math]

  Nella seconda funzione il denominatore è

  [math]x^2-1[/math]
  perciò per trovare il dominio è necessario porre:
  
  [math]x^2-1 \neq 0[/math]

  Dato che tale condizione presenta l’incognita al quadrato è necessario scomporre la frazione in modo da trovare i due valori che soddisfano la disuguaglianza.
  Eseguendo la scomposizione dell’espressione possiamo scrivere:
  

  [math](x-1)(x+1) \neq 0[/math]

  Tale disuglianza sarà soddisfatta per:
  

  [math]x \neq 1[/math]
  [math]x \neq -1[/math]

  Il dominio della funzione sarà quindi tutto R a eccezione di

  [math]\pm 1[/math]
• Si chiamano funzioni irrazionali quelle funzioni dove la x compare sotto il segno di radice. Esse si dividono in irrazionali intere e irrazionali fratte.
Esempi di funzioni irrazionali sono:

[math]f(x)=\sqrt{x} , f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}[/math]

Tutte le categorie di funzioni che sono state esposte possono essere composte tra di loro per dare origine ad una funzione più complessa, caratterizzata da polinomi, frazioni e radici; riportiamo in seguito un esempio:

La funzione può essere pari o dispari:

• La funzione Pari hanno la x solo con esponenti pari e sono simmetriche rispetto all'asse delle y.
  Affinchè una funzione sia pari deve essere soddisfatta la seguente relazione:
  
  [math]f(-x)=f(x)[/math]
• La funzione Dispari hanno la x sempre ad esponenti dispari e poi sono simmetriche rispetto all'origine.
  Affinchè una funzione sia dispari deve essere soddisfatta la seguente relazione:
  
  [math]f(-x)=-f(x)[/math]

Ciò significa che per comprendere se una funzione è pari o dispari è necessario sostituire -x al posto di x e osservare se la funzione che si ottiene è la stessa di quella di partenza o se è identica alla funzione di partenza ma con il segno opposto.
Una funzione non deve per forza essere o pari o dispari, esistono funzioni che non sono né pari né dispari.
Per ulteriori approfondimenti sulla funzione esponenziale e le sue proprietà vedi anche qua