Indice
Definizione
Una funzione
[math]f: (a, b) \to \mathbb{R}[/math]
si dice derivabile in [math]x_0 \in (a, b)[/math]
se e solo se
[math]\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}[/math]
esiste finito. In tal caso il risultato del limite si dice derivata prima di [math]f[/math] in [math]x_0[/math], e si indica con uno di questi simboli
[math]f'(x_0) qquad \frac{df}{dx}(x_0) qquad D[f](x_0) qquad dot{f}(x_0)[/math]
Proprietà della derivata e regole di derivazione
Linearità
[math](f \\pm g)' = f' \\pm g' qquad[/math]
(additività )
[math](c \cdot f)' = c \cdot f' qquad \forall c \in \mathbb{R} qquad[/math]
(omogeneità )
Esempio:
[math](5 \\sin(x) + 6 \\cos(x))' = (5 \\sinx(x))' + (6 \\cos(x))' = 5 (\\sin(x))' + 6 (\\cos(x))' = 5 \\cos(x) - 6 \\sin(x)[/math]
Derivata di un prodotto
[math](f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'[/math]
Esempio:
[math](x \\cos(x))' = (x)' \cdot \\cos(x) + x \cdot (\\cos(x))' = 1 \cdot \\cos(x) + x (-\\sin(x)) = \\cos(x) - x \\sin(x)[/math]
Derivata di un quoziente
[math](\frac{f}{g})^' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}[/math]
Esempio:
[math](\frac{x^2}{ln(x)})^' = \frac{(x^2)' \cdot ln(x) - x^2 \cdot (ln(x))'}{ln^2(x)} = \frac{2x ln(x) - x^2 \frac{1}{x}}{ln^2(x)} = \frac{2x ln(x) - x}{ln^2(x)}[/math]
Derivata del reciproco
[math](\frac{1}{g})^' = - \frac{g'}{g^2}[/math]
Esempio:
[math](\frac{1}{\text{tg}(x)})^' = - \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{\text{tg}^2(x)} = -\frac{1}{(1 + x^2) \text{tg}^2(x)}[/math]
Derivata di una funzione composta
[math](g circ f)' = g'(f(x)) \cdot f'(x)[/math]
Esempio:
[math](\sqrt{\\sin{x}})^' = \frac{1}{2 \sqrt{\\sin{x}}} \cdot (\\sin{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{\\sin{x}}} \cdot \\cos{x}[/math]
Derivate di funzioni del tipo [math]f(x)^{g(x)}[/math]
[math](f(x)^{g(x)})' = (e^{g(x) ln(f(x))})^' = f(x)^{g(x)} \cdot (g'(x) ln(f(x)) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)})[/math]
Esempio:
[math](x^x)^' = x^x ((x)' \cdot ln(x) + x \cdot \frac{(x)'}{x}) = x^x (ln(x) + 1)[/math]
Derivata di un valore assoluto
[math]|f(x)|^' = \text{sgn}(f(x)) \cdot f'(x)[/math]
Esempio:
[math]|x|' = \text{sgn}(x)[/math]
(notare che in [math]x=0[/math]
la funzione [math]|x|[/math]
non è derivabile)
Derivata della funzione inversa
Sia
[math]f: A \to B[/math]
una funzione invertibile e sia [math]g: B \to A[/math]
la sua inversa. Vale [math]g(f(x)) = x \quad \forall x \in A[/math]
e [math]f(g(y)) = y \quad \forall y \in B[/math]
; se [math]f[/math]
è derivabile in [math]x[/math]
e [math]f'(x) \ne 0[/math]
allora
[math]g'(y) = \frac{1}{f'(x)}[/math]
Tavola delle derivate fondamentali
|
[math]f(x)[/math] |
[math]f'(x)[/math] | |
|
[math]c[/math] (costante) | 0 | |
|
[math]x[/math]
|
[math]1[/math] | |
|
[math]\frac{1}{x}[/math]
|
[math]-\frac{1}{x^2}[/math] | |
|
[math]x^{a}[/math]
|
[math]a x^{a - 1}[/math] |
[math]a \in \mathbb{R}[/math] |
|
[math]e^x[/math]
|
[math]e^x[/math] | |
|
[math]a^x[/math]
|
[math]a^x ln(a)[/math] |
[math]a \in \mathbb{R}^+[/math]
|
[math]ln(x)[/math] |
[math]\frac{1}{x}[/math] | |
|
[math]\\log_{a}(x)[/math]
|
[math]\frac{1}{x ln(a)} = \frac{1}{x} \\log_a(e)[/math] |
[math]a \in \mathbb{R}^+ setmi us {1}[/math] |
[math]\\sin(x)[/math] |
[math]\\cos(x)[/math] | |
|
[math]\\cos(x)[/math]
|
[math]-\\sin(x)[/math] | |
[math]\text{tg}(x)[/math] |
[math]\frac{1}{\\cos^2(x)} = 1 + \text{tg}^2(x)[/math] | |
|
[math]\text{cotg}(x)[/math]
|
[math]-\frac{1}{\\sin^2(x)} = -1 - \text{cotg}^2(x)[/math] | |
[math]\text{arc\\sin}(x)[/math] |
[math]\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}[/math] | |
[math]\text{arc\\cos}(x)[/math] |
[math]-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/math] | |
|
[math]\text{arctg}(x)[/math]
|
[math]\frac{1}{1 + x^2}[/math] | |
|
[math]\text{arccotg}(x)[/math]
|
[math]-\frac{1}{1 + x^2}[/math] | |
|
[math]\\sinh(x)[/math]
|
[math]\\cosh(x)[/math] | |
|
[math]\\cosh(x)[/math]
|
[math]\\sinh(x)[/math] | |
|
[math]\text{tgh}(x)[/math]
|
[math]\frac{1}{\\cosh^2(x)} = 1 - \text{tgh}^2(x)[/math] | |
|
[math]\text{cotgh}(x)[/math] |
[math]-\frac{1}{\\sinh^2(x)} = 1 - \text{cotgh}^2(x)[/math] | |
|
[math]\text{sett\\sinh}(x)[/math] |
[math]\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}[/math] | |
|
[math]\text{sett\\cosh}(x)[/math]
|
[math]\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}[/math] | |
|
[math]\text{setttgh}(x)[/math] |
[math]\frac{1}{1 - x^2}[/math] | |
|
[math]\text{settcotgh}(x)[/math]
|
[math]\frac{1}{1 - x^2}[/math] |
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