Questo appunto tratta brevemente dei "gruppi" in matematica, analizzando il loro comportamento e da cosa sono formati attraverso alcuni esempi.
In matematica, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria per cui vale la proprietà associativa (come la somma o il prodotto) in cui è presente l'elemento neutro e l'inverso per ciascuno dei suoi elementi.
I gruppi si comportano "come i pezzi del lego": con due o più pezzi si possono fabbricare altri pezzi, o anche un oggetto. Un procedimento analogo permette dunque di passare da due gruppi ad un gruppo composto maggiore, come nella maniera seguente:
Se
e
sono due gruppi con le rispettive operazioni "•" e "∘", il cosiddetto prodotto cartesiano di insiemi, indicato come
,
formato da coppie di membri di
e
, diventa a sua volta un nuovo gruppo, definendo una nuova operazione "★" tra coppie, sulla base delle operazioni dei due gruppi di origine:
Vale a dire che, tramite l'operazione "★", si può definire, in A×B, un gruppo maggiore.
Occorre però stare attenti, perché tra il gruppo risultante e i gruppo di partenza a volte non si conserva alcun vincolo. Ad ogni modo, vale che per i gruppi finiti:
Con lo stesso procedimento si può costruire, per esempio,
(entrambi contenenti gli elementi (0,1)) che, come già sappiamo, conterrà
elementi. Se costruiamo la tabella di
, e per non renderla troppo grande e irriconoscibile introduciamo abbreviazioni come queste
(1,0)=b\\
(0,1)=c\\
(1,1)=d[/math]
otteniamo:
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