I GRUPPI IN MATEMATICA: GRUPPO × GRUPPO = PIÙ GRUPPI

Questo appunto tratta brevemente dei "gruppi" in matematica, analizzando il loro comportamento e da cosa sono formati attraverso alcuni esempi.

In matematica, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria per cui vale la proprietà associativa (come la somma o il prodotto) in cui è presente l'elemento neutro e l'inverso per ciascuno dei suoi elementi.

I gruppi si comportano "come i pezzi del lego": con due o più pezzi si possono fabbricare altri pezzi, o anche un oggetto. Un procedimento analogo permette dunque di passare da due gruppi ad un gruppo composto maggiore, come nella maniera seguente:

Se
[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
sono due gruppi con le rispettive operazioni "•" e "∘", il cosiddetto prodotto cartesiano di insiemi, indicato come
[math]A×B[/math]
,


[math]A×B=\{(a,b), con\ a \in A, b \in B \}[/math]


formato da coppie di membri di

[math]A[/math]
e
[math]B[/math]
, diventa a sua volta un nuovo gruppo, definendo una nuova operazione "★" tra coppie, sulla base delle operazioni dei due gruppi di origine:


[math](a_{1},b_{1})★(a_{2},b_{2})=(a_{1}•a_{2},b_{1}∘b_{2})[/math]


Vale a dire che, tramite l'operazione "★", si può definire, in A×B, un gruppo maggiore.

Occorre però stare attenti, perché tra il gruppo risultante e i gruppo di partenza a volte non si conserva alcun vincolo. Ad ogni modo, vale che per i gruppi finiti:

[math]|A×B|=|A|*|B|[/math]

Con lo stesso procedimento si può costruire, per esempio,

[math]\mathbb{Z}_{2}×\mathbb{Z}_{3}[/math]
(entrambi contenenti gli elementi (0,1)) che, come già sappiamo, conterrà
[math]4[/math]
elementi. Se costruiamo la tabella di
[math]\mathbb{Z}_{2}×\mathbb{Z}_{3}[/math]
, e per non renderla troppo grande e irriconoscibile introduciamo abbreviazioni come queste


[math](0,0)=a\\
(1,0)=b\\
(0,1)=c\\
(1,1)=d[/math]


otteniamo:


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