Gruppi - Descrizione

Questo appunto tratta brevemente dei "gruppi" in matematica, analizzando il loro comportamento e da cosa sono formati attraverso alcuni esempi.

In matematica, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria per cui vale la proprietà associativa (come la somma o il prodotto) in cui è presente l'elemento neutro e l'inverso per ciascuno dei suoi elementi.

I gruppi si comportano "come i pezzi del lego": con due o più pezzi si possono fabbricare altri pezzi, o anche un oggetto. Un procedimento analogo permette dunque di passare da due gruppi ad un gruppo composto maggiore, come nella maniera seguente:
Se

e sono due gruppi con le rispettive operazioni "•" e "∘", il cosiddetto prodotto cartesiano di insiemi, indicato come ,

formato da coppie di membri di

e , diventa a sua volta un nuovo gruppo, definendo una nuova operazione "★" tra coppie, sulla base delle operazioni dei due gruppi di origine:

Vale a dire che, tramite l'operazione "★", si può definire, in A×B, un gruppo maggiore.

Occorre però stare attenti, perché tra il gruppo risultante e i gruppo di partenza a volte non si conserva alcun vincolo. Ad ogni modo, vale che per i gruppi finiti:

Con lo stesso procedimento si può costruire, per esempio,

(entrambi contenenti gli elementi (0,1)) che, come già sappiamo, conterrà elementi. Se costruiamo la tabella di , e per non renderla troppo grande e irriconoscibile introduciamo abbreviazioni come queste

otteniamo: