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Sistemi di congruenze


I sistemi di congruenze sono operazioni molto utili per risolvere problemi di questo genere:
Qual è il più piccolo numero che diviso per 7 dà resto 3 e diviso per 9 dà resto 2?
Passiamo subito dalla teoria alla pratica, risolviamo questo problema.
Svolgimento
Sappiamo che:
  • n ≡ 3 (mod 7);
  • n ≡ 2 (mod 9).
Allora possiamo anche dire che: 7h + 3 = 9k + 2, dobbiamo trovare i più bassi valori di h, k.
Trasportiamo un po' di termini da una parte all'altra.
[math]9k-7h = 1[/math]
troviamo i valori di k,h che sono (4, 5).
Allora
[math]n = 7 * 5 + 3 = 38[/math]
, perciò si può dire che abbiamo risolto questo quesito.
Proviamone un altro.
Qual è il più piccolo numero tale che diviso per 24 dia resto 13 e diviso per 16 dia resto 9?
Il ragionamento è analogo a quello fatto in precedenza, semplicemente si ragiona con numeri più grandi.
Si sa che:
  • n ≡ 13 (mod 24)
  • n ≡ 9 (mod 16)
Allora:
[math]24h+13 = 16k+9[/math]
[math]16k-24h = 4[/math]
Tale diofantea è semplificabile: si dividono entrambi i membri per 4.
[math]4k-6h = 1[/math]
Siccome un'equazione del genere non ha soluzioni intere, il problema risulta essere impossibile!
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