Sistemi di disequazioni

Indice

1. Definizioni
2. Risoluzione di un sistema di disequazioni

Definizioni

• Un sistema di disequazioni in una incognita è un insieme di due o più disequazioni, tutte nella stessa incognita, considerate contemporaneamente.

Soluzioni di un sistema di disequazioni

• Un numero è soluzione di un sistema di disequazioni se, sostituendolo all’incognita, tutte le disequazioni del sistema si trasformano in disuguaglianze vere.
• Risolvere un sistema di disequazioni significa determinare l’insieme delle soluzioni che sono comuni a tutte le disequazioni del sistema:

se il sistema è formato da n disequazioni, chiameremo i rispettivi insiemi delle soluzioni

e indicheremo l’insieme delle soluzioni del sistema come l’intersezione di tutti questi:

Se un numero, sostituito all’incognita delle disequazioni, rende anche una sola di esse una disuguaglianza falsa, quel numero non appartiene all’insieme delle soluzioni;

se il sistema non ammette soluzioni, si ha che

.

Risoluzione di un sistema di disequazioni

Per risolvere un sistema di disequazioni, dobbiamo risolvere ciascuna disequazione, determinare i loro insiemi delle soluzioni, ed individuare le soluzioni comuni a tutte e disequazioni.

Per determinare le soluzioni comuni, è utile rappresentare gli insiemi delle soluzioni delle singole disequazioni graficamente, rappresentandoli come intervalli sulla retta reale; l’insieme delle soluzioni del sistema è costituito dagli intervalli in cui sono soddisfatte contemporaneamente tutte le disequazioni del sistema.

Vediamo un esempio pratico; risolviamo il seguente sistema di disequazioni lineari:

Per semplicità, risolviamo una disequazione per volta; cominciamo dalla prima:

Riduciamo le frazioni a denominatore comune, sommiamole, ed eliminiamo il denominatore:

Ora, svolgiamo i calcoli portando poi tutti i termini con l’incognita a primo membro, e i numeri al secondo:

Passiamo ora alla seconda disequazione, e risolviamola:

Dopo aver risolto entrambe le disequazioni, consideriamo gli insiemi delle loro soluzioni:

L’insieme delle soluzioni S è quindi il seguente: