Appunto di matematica in cui si descrivono i sistemi di numerazione posizionali ed in particolare il sistema binario con le relative operazioni.
Indice
Sistemi di numerazione posizionali
Definiamo un sistema di numerazione come un insieme di simboli usati per la rappresentazione dei numeri e di regole per contare ed eseguire le operazioni.
I primi sistemi di numerazione, come il sistema di numerazione romano, usavano simboli per rappresentare alcuni numeri (I, V, X, C, M) e rappresentavano gli altri numeri come sequenze di questi simboli, che andavano sommati o sottratti, a seconda della loro posizione; solitamente l’esecuzione delle operazioni aritmetiche era molto complicata.
In seguito è risultato molto più semplice l’utilizzo di sistemi posizionali.
Un sistema di numerazione posizionale è un criterio basato sull’uso di un numero limitato di segni grafici, per la rappresentazione dell’insieme dei numeri che è infinito.
Tale sistema è costituito da:
- una base b;
- un insieme ordinato di cifre distinte le une dalle altre;
- il codice di interpretazione;
- un insieme di algoritmi.
Il codice di interpretazione è costituito da un insieme di regole che permettono di determinare quale sia il numero rappresentato da un gruppo di cifre. L’insieme di algoritmi regola le quattro operazioni aritmetiche fondamentali e per ogni operazione l’algoritmo corrispondente descrive le istruzioni da eseguire per ottenere la rappresentazione del risultato, partendo dalla rappresentazione degli operandi.
Le cifre del sistema di numerazione sono i segni grafici usati per la rappresentazione dei numeri. Se la base è b, ci sono b cifre distinte.
Data una sequenza di cifre, il codice di interpretazione specifica che:
- un peso è associato ad ogni posizione nella sequenza;
- ogni cifra indica quante volte deve essere considerato il peso corrispondente alla posizione nella quale si trova la cifra stessa .
Un numero in base b è un numero rappresentato utilizzando il sistema di numerazione in base b ed è una sequenza ordinata di cifre che può essere rappresentata come segue:
(c_{n-1} c_{n-2} c_{n-3} … c_1 c_0 . c_{-1} c_{-2} c_{3} … c_{-m})_b
[/math]
dove il punto fra gli elementi
c_0
[/math]
e
c_{-1}
[/math]
è detto punto di separazione o punto radice e separa la parte intera e la parte frazionaria. Si noti che:
la parte intera è rappresentata da n cifre,
c_{n-1} c_{n-2} c_{n-3} … c_1 c_0
[/math]
la parte frazionaria è rappresentata da m cifre,
c_{-1} c_{-2} c_{3} … c_{-m}.
[/math]
Nella parte intera il peso associato alla cifra
c_0
[/math]
è
b^0 = 1
[/math]
, quello alla cifra
c_1
[/math]
è
b^1 = b
[/math]
e così via fino ad arrivare alla cifra
c_{n-1}
[/math]
alla quale è associato il peso
b^{n-1}.
[/math]
Per quanto riguarda la parte frazionaria la cifra
c_{-1}
[/math]
ha peso
b^{-1}
[/math]
fino ad arrivare alla cifra
c_{-m}
[/math]
che ha peso
b^{-m}.
[/math]
In base a quanto osservato ogni numero può essere scritto tramite la forma polinomia:
(c_{n-1} c_{n-2} c_{n-3} … c_1 c_0 . c_{-1} c_{-2} c_{3} … c_{-m})_b =
[/math]
= c_{n-1} \cdot b^{n-1} + c_{n-2} \cdot b^{n-2} + c_{n-3} \cdot b^{n-3} +… + c_1 \cdot b + c_0 + c_{-1} \cdot b^{-1} + c_{-2} \cdot b^{-2} + c_{3} \cdot b^{-3} + … + c_{-m} \cdot b^{-m}.
[/math]
Qualunque sia il numero rappresentato la cifra più a sinistra è quella più significativa del numero stesso, mentre quella più a destra è la cifra meno significativa.
Nella vita quotidiana noi usiamo il sistema di numerazione in base 10 (sistema di numerazione decimale), cioè usa dieci cifre (da 0 a 9).
Numerazione binaria
Il sistema di numerazione binario ha base b = 2 (base più piccola per un sistema di numerazione) e le cifre utilizzate sono 0 ed 1 e vengono chiamate cifre binarie.
La forma polinomia di un numero binario si esprime come:
c_{n-1} \cdot 2^{n-1} + c_{n-2} \cdot 2^{n-2} + c_{n-3} \cdot 2^{n-3} +… + c_1 \cdot 2 + c_0 + c_{-1} \cdot 2^{-1} + c_{-2} \cdot 2^{-2} + c_{3} \cdot 2^{-3} + … + c_{-m} \cdot 2^{-m}
[/math]
dove
c_i = 0
[/math]
oppure
c_i = 1
[/math]
per ogni valore di i considerato. Un numero binario è pertanto una sequenza di 0 ed 1 ed i pesi associati a queste cifre sono potenze del 2. Le cifre 0 ed 1 sono dette anche bit (binary digit).
Un numero binario
(B)_2
[/math]
ed un numero decimale
D
[/math]
si dicono corrispondenti, o equivalenti, quando
(B)_2
[/math]
e
D
[/math]
sono rappresentazioni della stessa quantità.
Operazioni con i numeri binari
Le moltiplicazioni e le divisioni sono semplicissime: per moltiplicare un numero per due bisogna aggiungere uno 0 a destra, per dividere un numero per 2 si toglie una cifra a destra (Es.: 100:2= 10 [4:2=2])
Per la somma di due cifre binarie bisogna tenere presente che:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 con il riporto di 1
Es.:
1 1 riporti
1 1 1 0 +
1 0 1 1 =
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 1 0 0 1
| | | |___0 + 1 = 1
| | |_____ 1 + 1 = 10 scrivo 0 e riporto di 1
| |_______1 + 0 + 1 (riporto) = 10 scrivo 0 e riporto di 1
|_________1 + 1 + 1 (riporto) = 11 scrivo 1 e riporto di 1
E per la differenza:
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 con prestito di 1 dalla cifra precedente
Es.:
0 1 10 dopo il prestito
1 0 0 0 1 -
1 0 0 =
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1 1 0 1
| | | |___1 - 0 = 1
| | |____0 - 0 = 0
| |______0 - 1 si va a prestito di 1 dalla prima cifra significativa 10 - 1 = 1
|________ dopo il prestito di 1 rimane 1 - 0 = 1
Conversione di un numero binario in un numero decimale
Per convertire un numero da binario a decimale si sommano i prodotti di ciascuna cifra per una potenza di 2 (potenze positive per la parte intera e negative per la parte frazionaria). In pratica si sommano le potenze di 2 positive e negative corrispondenti alle cifre 1 del numero binario.
(1 0 1 1, 1 1) numero binario = (11,75) numero decimale
Conversione, parte intera:
1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
[/math]
Conversione, parte frazionaria:
1\cdot 2^{-1} + 1 \cdot 2^{-2} = 0,50 + 0,25 = 0,75
[/math]
Conversione di un numero decimale in un numero binario
Per convertire un numero da decimale a binario si procede come segue:
- per la parte intera si eseguono divisioni successive per 2 ed il resto di ogni divisione costituisce una cifra del codice binario. Il risultato di ogni divisione diventa dividendo per la divisione successiva, il procedimento si ferma quando il risultato è 0. Questo metodo prende il nome di metodo delle divisioni successive.
- per la parte frazionaria invece si procede per moltiplicazioni successive per 2; la parte intera di ogni risultato costituisce una cifra del numero binario da sinistra verso destra, la parte frazionaria di ogni numero è il valore da moltiplicare per 2 al passo successivo. Il procedimento si conclude quando la parte frazionarie è 0.
Facciamo un esempio per chiarire quanto esposto sopra:
Il numero decimale 37,125 è rappresentato dal numero binario 100101,001, ossia
(37,125) numero decimale = (100101,001) numero binario
Per la parte intera si ha che:
37 : 2 = 18
[/math]
resto 1
18 : 2 = 9
[/math]
resto 0
9 : 2 = 4
[/math]
resto 1
4 : 2 = 2
[/math]
resto 0
2 : 2 = 1
[/math]
resto 0
1 : 2 = 0
[/math]
resto 1
Per la parte frazionaria si ha che:
0,125 \cdot 2 = 0,25
[/math]
0,25 \cdot 2 = 0,5
[/math]
0,5 \cdot 2 = 1,0
[/math]
1,0
[/math]
da cui il numero binario riportato sopra.
per ulteriori approfondimenti sulla numerazione binaria vedi anche qua
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