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Sistemi di numerazione
Che cosa sono i sistemi di numerazione?
Un sistema di numerazione è una modalità di rappresentazione dei numeri con diversi simboli e criteri.
Per capire meglio, proviamo a fare riferimento al nostro sistema di numerazione.
Il nostro sistema di numerazione
Si dice che il nostro sistema di numerazione è decimale e posizionale.
Che cosa significano questi termini?
Il nostro sistema di numerazione si dice decimale perché numera in base 10.
Nel prossimo paragrafo chiarirò meglio il concetto di base.
Ma il nostro sistema di numerazione è anche detto posizionale perché ogni cifra possiede un valore diverso in relazione alla posizione che occupa all'interno del numero.
Facciamo un esempio, prendiamo in considerazione i numeri 23 e 32.
I simboli utilizzati sono i medesimi, ma essi esprimono lo stesso numero? Assolutamente no! Infatti nel numero 23 la cifra 2 ha valore 20, mentre nel numero 32 la cifra 2 ha valore 2!
La base di un sistema di numerazione
La base di un sistema di numerazione è molto importante, perché ci fornisce due informazioni fondamentali. Esse sono:
-Il numero di cifre utilizzate. La base del nostro sistema di numerazione, 10, ci dice che utilizza dieci simboli, che sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9;
-Il valore da attribuire a ciascuna cifra. Per spiegare meglio questo concetto facciamo un esempio.
Prendiamo in considerazione il numero 472.
Il suo valore sarà uguale a: 4*(10^2)+7*(10^1)+2*(10^0)
E se il numero fosse lo stesso ma in base 9?
Il suo valore sarà uguale a: 4*(9^2)+7*(9^1)+2*(9^0)
I sistemi di numerazione utilizzati in Informatica
Il sistema di numerazione più utilizzato in Informatica è il binario.
Esso è un sistema in base 2, con solo due simboli: 0 e 1.
I computer comprendono infatti questo sistema, e tutti i file, i caratteri sono sempre codificati con il sistema binario.
Ogni simbolo utilizzato durante la codifica (sia esso 0 o 1) equivale a 1 bit.
Altri sistemi più o meno utilizzati sono l'ottale e l'esadecimale, rispettivamente numerano in base 8 e in base 16.
Il sistema esadecimale è un sistema un po' particolare, perché utilizza 16 simboli, di cui 10 numeri e 6 lettere.
Come effettuare le conversioni da un sistema all'altro
In allegato un file con degli esercizi svolti.
CONVERSIONE DI NUMERI: ESEMPI ED ESERCIZI SVOLTI
Es. 1
Convertire il numero 57 in binario.
57 2
4 28 2
17 2 14 2
16 =8 14 7 2 57 =111001
(10) (2)
1 =8 0 6 3 2
0 1 2 1 2
1 0 0
1
Spiegazione:
Per convertire un numero da base 10 a base N diversa da 10, bisogna eseguire una
“divisione a catena” tra il numero che si vuole convertire e la base N, e considerarne i
resti.
Lo zero evidenziato in giallo è un segnale di STOP; quando la divisione dà come
risultato 0, è segno che devi fermarti e raccogliere da destra verso sinistra tutti i
resti, evidenziati in grigio.
Es. 2
Convertire il numero 46 in base 3.
Si procede in modo analogo, dividendo stavolta per 3.
46 3
3 15 3
16 15 5 3
15 =0 3 1 3 46 =1201
(10) (3)
1 2 0 0(STOP!)
1
Es. 3
E se volessimo convertire un numero da binario in decimale?
Convertire il numero 10110001 in base 10.
(2)
Riflettiamo su ciò che abbiamo detto. Il sistema di numerazione binario è anch’esso
posizionale. Quindi il valore di ogni cifra sarà moltiplicato per la base elevata alla
posizione!
1 0 1 1 0 0 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0
2 2 2 2 2 2 2 2
128 64 32 16 8 4 2 1
Adesso sommiamo il tutto.
(128*1)+(64*0)+(32*1)+(16*1)+(8*0)+(4*0)+(2*0)+(1*1)=
=128+0+32+16+0+0+0+1=177
In conclusione: 10110001(2)=177(10)
4 2 3
2 1 0
5 5 5
25 5 1
Es. 4
Convertire il numero 423 in base 10.
(5)
Ora sommiamo.
(25*4)+(5*2)+(1*3)=
=100+10+3=113
In conclusione: 423 = 113
(5) (10)
CASI PARTICOLARI:
Può sembrare noioso fare ogni volta una divisione a catena o una tabella solo per
convertire un numero! Ma fortunatamente ci sono anche dei casi in cui la conversione
può essere effettuata più velocemente.
Questi casi particolari sono:
Binario-Ottale (Base 2-Base 8);
Binario-Esadecimale(Base 2-Base 16)
Esempio 1
Convertire 100101110101 in base 8.
(2)
3
Siccome 8 = 2 , si raggruppa il numero in gruppi di tre cifre, e si
convertono in ottale.
100 101 110 101
BINARIO DECIMALE OTTALE ESADECIMALE
0000 0 0 0
0001 1 1 1
0010 2 2 2
0011 3 3 3
0100 4 4 4
0101 5 5 5
0110 6 6 6
0111 7 7 7
1000 8 10 8
1001 9 11 9
1010 10 12 A
1011 11 13 B
1100 12 14 C
1101 13 15 D
1110 14 16 E
1111 15 17 F
Quindi 100101110101 = 4565
(2) (8)
Esempio 2
Convertire 111001101011 in base 16.
(2)
4
Dato che 16 = 2 , stavolta raggruppiamo ogni quattro cifre e le convertiamo in
esadecimale secondo la tabella nella pagina precedente.
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