Risolvere
[math]z^2 - i \bar{z} = 0[/math]
per
[math]z \in \mathbb{C}[/math]
, dove [math]\bar{z}[/math]
indica il compesso coniugato di [math]z[/math]
.
Detto
[math]\\rho[/math]
il modulo di [math]z[/math]
e [math]\theta[/math]
la sua fase, risulta
[math]z = \\rho e^{i \theta}[/math]
[math]z^2 = \\rho^2 e^{i 2 \theta}[/math]
[math]\bar{z} = \\rho e^{-i \theta}[/math]
pertanto l'equazione diventa
[math]\\rho^2 e^{i 2\theta} = i \\rho e^{-i \theta}[/math]
Osservando che
[math]z=0[/math]
è soluzione, dividendo poi per [math]\\rho[/math]
e moltiplicando ambo i membri per [math]e^{i \theta}[/math]
, si ottiene
[math]\\rho e^{i 3 \theta}= i[/math]
Dato che
[math]i = e^{i \frac{\\pi}{2}}[/math]
l'equazione diventa
[math]\\rho e^{i 3 \theta}= e^{i \frac{\\pi}{2}}[/math]
da cui
[math]\\rho = 1[/math]
[math]3 \theta = \frac{\\pi}{2} + 2 k \\pi \quad \implies \quad \theta = \frac{\\pi}{6} + \frac{2}{3} k \\pi[/math]
, [math]k = 0, 1, 2[/math]
Dunque le soluzioni dell'equazione sono
[math]z = 0[/math]
[math]z = e^{i (\frac{\\pi}{6} + \frac{2}{3} k \\pi)}[/math]
, [math]k = 0, 1, 2[/math]
FINE
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