Come risolvere i problemi di geometria utilizzando le equazioni di secondo grado

In quest'appunto troverai delle informazioni riguardanti la risoluzione di problemi di geometria piana utilizzando le equazioni di secondo grado

Cosa sono le equazioni di secondo grado e come possono essere utilizzate in geometria

In matematica, le equazioni sono delle uguaglianze in cui compare, in almeno un membro, una o più incognite. Il massimo esponente con cui l'incognita compare prende il nome di grado dell'equazione. Equazioni di grado differente si svolgono in maniera differente.

Nelle equazioni di primo grado, infatti, per isolare l'incognita basta utilizzare il primo e il secondo principio di equivalenza delle equazioni. Il primo principio di equivalenza delle equazioni suggerisce di addizionare o sottrarre una stessa quantità ad entrambi i membri per cercare di isolare l'incognita in un solo membro. Il secondo principio ha la stessa finalità, ma suggerisce di moltiplicare o dividere entrambi i membri per uno stesso numero.

Per risolvere le equazioni di secondo grado, invece, è necessario utilizzare un approccio più complicato.
Queste equazioni, infatti, si trovano nella forma e dunque non è possibile isolare direttamente l'incognita. In questo caso, si deve calcolare il discriminante, definito spesso con la lettera . Una volta calcolato, è possibile già stabilire a priori le caratteristiche delle soluzioni dell'equazione, ossia dei valori che sostituiti all'incognita soddisfano l'uguaglianza.
In particolare:

• se
  [math]\Delta > 0[/math]
  , le soluzioni saranno reali e distinte


• se
  [math]\Delta = 0[/math]
  , le soluzioni saranno reali e congruenti


• se
  [math]\Delta < 0[/math]
  , le soluzioni saranno complesse coniugate

Le equazioni sono, in generale, un'arma molto importante perché consentono di impostare in modo chiaro alcuni problemi di geometria. Ovviamente, trattandosi di lunghezze aventi un significato fisico, discriminanti negativi non conducono a soluzioni accettabili in tali applicazioni.

Esempio: come risolvere i problemi di geometria con le equazioni di secondo grado

Esaminiamo il testo del problema. In un trapezio isoscele , di perimetro , l'altezza è lunga e la base maggiore è il quadruplo della base minore . Determina le lunghezze dei lati del trapezio.

Svolgimento del problema

La prima cosa da fare è scegliere come incognita una delle lunghezze ed esprimere tutte le altre in funzione di questa.
Conoscendo il perimetro, uguaglieremo a 20 la somma di tutti i lati. Nota la relazione tra base maggiore e base minore , poniamo questa come incognita , ovvero .

Fatto ciò possiamo scrivere subito che:

Abbiamo già due lati in funzione di . Troviamo ora anche i lati obliqui e in funzione dell'incognita .
Osserviamo la figura seguente:


Per trovare la misura del lato obliquo, usiamo il teorema di Pitagora e lo applichiamo al triangolo retto in . Del triangolo è noto il cateto maggiore, rappresentato dall'altezza del trapezio . Per trovare il minore dobbiamo fare la semi differenza delle due basi:

da cui

Ed ora possiamo applicare il teorema di Pitagora:

Ricordiamo che essendo il trapezio isoscele.

Ora costruiamo la nostra equazione:

sostituendo i valori in funzione di :


Raccogliendo le due radici al primo membro ed elevando poi al quadrato entrambi, si giunge a un'equazione di secondo grado completa:


che risolta porta alle seguenti soluzioni:



Delle due soluzioni va scartata la seconda. Perché? Ricordiamo che è la base minore, con questo risultato avremmo che verrebbe ad essere maggiore dell'intero perimetro.
Ecco allora tutte le misure dei lati:



Per ulteriori approfondimenti sulla risoluzione algebrica dei problemi di geometria vedi anche qua