Proporzionalità inversa - Spiegazione ed esempi

In questo appunto viene descritta in modo approfondito la proporzionalità inversa, con spiegazione ed esempi pratici.

La proporzionalità

Il termine proporzionale viene molto utilizzato nell’ambito scientifico per identificare quando due grandezze sono in qualche modo correlate, ciò significa che se si modifica una certa grandezza si avrà che la seconda grandezza varia a sua volta secondo un ben determinato andamento.
Esistono diversi tipi di proporzionalità, in seguito ne riportiamo alcuni:

• proporzionalità diretta
• proporzionalità inversa
• proporzionalità quadratica

I tipi di proporzionalità che sono stati riportati sono i principali ed è possibile combinare questi tipi di proporzionalità per ottenere delle correlazioni più complesse.

Generalmente il ruolo dello scienziato è proprio quello di trovare il tipo di correlazione tra due grandezze, la conoscenza di tali relazioni permette allo scienziato di capire come è possibile modificare una certa proprietà per ottenere degli effetti sulla seconda proprietà e controllare in questo modo il comportamento del materiale.

Non è sempre possibile trovare una correlazione tra due grandezze qualsiasi e in molti casi la correlazione può essere anche molto complessa.

Molto spesso se due grandezze sono proporzionali è possibile utilizzare una proporzione per poter trovare la proprietà di un certo oggetto.
Per ulteriori approfondimenti sulle proporzioni e sulle sue proprietà vedi anche qua

Proporzionalità inversa: descrizione

Due grandezze sono legate da una proporzionalità inversa quando all’aumentare della prima grandezza, la seconda grandezza diminuisce e viceversa (al diminuire della prima grandezza, la seconda aumenta).
La formulazione matematica che permette di esprime questa relazione è la seguente:

Dove x e y sono le due proprietà dell’oggetto che sono legate da una relazione di proporzionalità mentre k è la costante che permette di relazionare in modo quantitativo le due grandezze x e y e prende il nome di costante di proporzionalità.

Osservando l’espressione generale che esprime la proporzionalità inversa possiamo notare come all’aumentare di x, dato che tale elemento è a denominatore si avrà che la frazione assume un valore inferiore e perciò la grandezza y risulterà avere un valore inferiore.
Al contrario se la grandezza x diminuisce si avrà che la frazione globalmente assumerà un valore maggiore e perciò si otterrà che il valore di y sarà maggiore.

Proporzionalità inversa: rappresentazione

Abbiamo visto come l’equazione che permette di esprimere la proporzionalità inversa sia:

Se si rappresenta tale relazione in un piano cartesiano: si scelgono dei valori casuali di x, si calcolano i relativi valori della grandezza y e si rappresentano le coppie (x,y) nel piano cartesiano si otterrà un andamento descritto dal ramo del primo quadrante di un’iperbole equilatera.
Ricordiamo brevemente che un’iperbole equilatera è una figura caratterizzata da due linee (una nel primo e una nel terzo quadrante) che presenta come asintoti i due assi cartesiani.
Il ramo di iperbole nel primo quadrante corrisponde alla curva che viene descritta quando le grandezze x e y sono entrambe positive mentre il ramo di iperbole nel terzo quadrante viene descritto quando sia la grandezza x che la grandezza y sono negative.

Per verificare quindi se due grandezze sono relazionate da una proporzionalità inversa è necessario effettuare delle misure della grandezza x e della relativa grandezza y, rappresentarle in un piano cartesiano avente come assi le grandezze x e y e verificare che la linea che passa per i punti presenti nel piano cartesiano individua un ramo di iperbole.
Per ulteriori approfondimenti sull’iperbole e sulle sue caratteristiche vedi anche qua

Proporzionalità inversa: esempio

Un esempio di proporzionalità inversa è quello che relaziona la densità e il volume di un oggetto.
Ricordiamo che la densità è una grandezza che relaziona la massa e il volume di un oggetto e ci da un’idea di quanto denso sia un materiale.
L’espressione matematica che descrive la densità di un materiale è la seguente:

Dove d è la densità dell’oggetto, m è la massa mentre V è il volume occupato dall’oggetto.

Si può notare come il volume sia contenuto a denominatore della frazione, si può quindi affermare che sia presente una proporzionalità inversa tra la densità e il volume.
A parità di massa si ha infatti che maggiore è il volume occupato e minore sarà la densità dell’oggetto; al contrario invece si avrà che minore è il volume dell’oggetto e maggiore sarà la densità.

Se ad esempio consideriamo un oggetto che ha una massa di 1kg e tale oggetto occupa un volume di

si avrà che la densità è:

Se invece pensiamo idealmente di poter prendere tale oggetto di massa pari ad 1kg e lo concentriamo in un volume che è la metà quindi in un volume

Si avrà che la densità corrispondente sarà:

Si può notare come in questo secondo caso si è diminuito il volume (più precisamente il volume si è dimezzato) e si è ottenuto una densità maggiore (più precisamente una densità doppia).
Esistono molti altri esempi di proporzionalità inversa, uno di quelli più comuni è ad esempio la velocità e il tempo.