Problemi svolti di matematica

In questo appunto in matematica ci sono dei problemi svolti su argomenti di vario tipo: il calcolo percentuale, le proporzioni, le equivalenze tra unità di misura. Per ciascuna tipologia di problema forniremo anche un breve riepilogo delle proprietà delle operazioni utilizzate in modo da avere un quadro completo sull’argomento.

Problemi con il calcolo percentuale

La percentuale è una particolare frazione avente come denominatore 100. Con questo rapporto su un dato totale, si vuole indicare quante unità su 100 soddisfano una certa condizione. Dato un rapporto, il rapporto equivalente a quello assegnato che ha per conseguente il numero 100 si dice rapporto percentuale o semplicemente percentuale.
In pratica si tratta di scrivere in maniera diversa una frazione il cui denominatore è 100. Per trasformare una frazione in base 100 in un numero percentuale bisogna scrivere il numeratore della frazione con i due decimali dopo la virgola e poi bisogna moltiplicare per 100 aggiungendo il simbolo .
Perché si utilizza proprio 100?
Nel nostro sistema di numerazione le potenze di 10 hanno un ruolo fondamentale; risulta una scelta naturale utilizzare una di esse come termine di confronto. Il numero 10 non consente di esprimere i rapporti in modo apprezzabile, mentre il 100, risulta essere più efficace.
Ha senso una percentuale maggiore del 100%?
Dipende dal contesto in cui si sta operando.
Non ha senso dire che il 120% degli alunni di una classe sarà promosso perché al massimo saranno promossi tutti gli studenti, ovvero il 100%.
Pensiamo ad un atleta si alleni correndo un giorno per 5 km e il giorno successivo per 6 km e così via in questo caso il secondo giorno ha corso per un tragitto pari al 120% del tragitto del giorno precedente. Pertanto in certi casi le percentuali al di sopra del 100% hanno significato.
Per ulteriori approfondimenti sul calcolo della percentuale vedi qua

Come calcolare l’aumento del prezzo di un bene

Un libro oggi costa 12,50 euro. Il suo prezzo viene aumentato del 3%, quanto costerà dopo l'aumento?
[R=12,88 euro]
L’aumento del prezzo di un bene rientra nella tipologia dei problemi sopra 100, sono quei problemi in cui il valore della percentuale deve essere aggiunto alla somma sulla quale è stato calcolato. Bisogna determinare direttamente un importo aumentato di una certa percentuale. La proporzione da utilizzare per questa tipologia di problema è la seguente:

Vediamo chi sono i termini di questa proporzione:

r è il tasso percentuale
S è la somma iniziale sulla quale viene calcolata la percentuale
P è la percentuale di aumento su S
S+P è la somma aumentata

Scriviamo i nostri dati:

r=3%
S=12,50€
P=3% di 12,50
S+P è la somma aumentata

Problema sullo sconto

Lo sconto è la riduzione del prezzo originario e si trova moltiplicando la percentuale di sconto per il prezzo originario. Il prezzo scontato si ottiene sottraendo al prezzo originario lo sconto.
Un paio di scarpe nel mese di dicembre costa 80 €. A Gennaio con i saldi vengono scontate del 40%. A che prezzo vengono vendute ?
Calcoliamo a quanto ammonta lo sconto sul prezzo iniziale delle scarpe. Dobbiamo moltiplicare la percentuale di sconto il prezzo originario.

Sul prezzo iniziale vengono scontati 32 €.
Adesso sottraiamo questo valore al prezzo originario:

Le scarpe scontate verranno vendute al prezzo di 48€.
I dati relativi all'acquisto vengono riportati sullo scontrino o sulla fattura, compreso lo sconto applicato.
Per ulteriori approfondimenti sulla fattura vedi qua

Calcolare la percentuale di una quantità

Problema 1
Nell’ultimo campionato una squadra di calcio ha realizzato 24 goal, dei quali tre su rigore e cinque supposizione. Calcolare la percentuale di goal segnati su rigore e su punizione
Indichiamo con il numero dei goal segnati su rigore e impostiamo la proporzione:

Il 12,5% dei goal sono stati realizzati su rigore.
Ora ripetiamo lo stesso ragionamento per calcolare l’altra percentuale.

Il quoziente della divisione è un numero periodico in questi casi si usa considerare la migliore approssimazione usando quella al centesimo, si può dire che i goal realizzati su punizione sono stati il 20,83%.

Problema 2
Su un totale di 300 persone che lavorano, i 2/5 sono ingegneri, i 3/10 sono medici e il restante sono matematici. Quanti sono i medici, e gli ingegneri? Esprimi anche in percentuale.
[R: 90 medici, 120 ingegneri]
Indichiamo i due gruppi come segue:
M= medici
I= ingegneri

Calcoliamo il numero dei medici, dividiamo il totale delle persone (300) per 10 e poi moltiplichiamo per 3:

M= 3/10 di 300
3/10 x 300 = 3 x 30 = 90 medici

Calcoliamo la percentuale:

Calcoliamo il numero degli ingegneri, dobbiamo fare i 2/5 di 300:

I= 2/5 di 300
2/5 x 300 = 2 x 60 = 120 ingegneri

Calcoliamo la percentuale degli ingegneri:

Proporzioni per risolvere i problemi di geometria

In un triangolo la lunghezza della base sta a quella dell'altezza come 7 sta a 5. Sapendo che la base è lunga 28 cm, calcola l'area del triangolo.
[R: ]

Scriviamo la proporzione tra base e altezza, per ricavare la misura dell’altezza:

x=altezza del triangolo è un termine medio, per ricavarlo dobbiamo moltiplicare i due estremi e dividere per l’altro medio applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni:

Per calcolare l’area del triangolo dobbiamo moltiplicare le dimensioni di base altezza e poi dividere per 2:

Equivalenze tra misure di lunghezza

Per svolgere le equivalenze, dobbiamo ricordare, in questo caso, la scala del metro e i posti occupati dai multipli e sottomultipli. Quando scendiamo moltiplichiamo per 10, 100, 1000 o più i base ai gradini. Quando saliamo dividiamo sempre contando i gradini di cui ci siamo spostati.

• [math]5km=m …[/math]
• [math]2m=cm …[/math]
• [math]0,6dm=km …[/math]
• [math]50 m=dam …[/math]
• [math]300mm=km …[/math]

Risolviamo

• [math]5km=5000m [/math]
• [math]2m=200cm[/math]
• [math]0,6dm=6,0\cdot 10^{-5} km[/math]
• [math]50m=5 dam[/math]
• [math]300mm=3,0 \cdot 10^{-4}km[/math]

Per ulteriori approfondimenti sulle scale del sistema metrico decimale vedi qua