Sistemi lineari: il metodo della matrice inversa e la regola di Cramer

Descrizione del metodo della matrice inversa

Procedimento: Sia dato un sistema lineare di equazioni in incognite. Come sappiamo esso può essere scritto nella forma \[( A \cdot x = b )\], nella quale è la matrice \[(n \times n)\] dei coefficienti e sono due vettori colonna di coordinate, detti rispettivamente delle incognite e dei termini noti. Osserviamo che se esiste la matrice inversa di , ovvero se è possibile determinare in maniera unica una matrice \[(n \times n) \ (A^{-1})\] tale che \[ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I \] allora il sistema è facilmente risolubile. Infatti in questo caso moltiplicando a sinistra per \[A^{-1}\] entrambi i membri dell’equazione che definisce il sistema abbiamo subito \[ A \cdot x = b \Rightarrow A^{-1} \cdot (A \cdot x) = A^{-1} \cdot b \Rightarrow (A^{-1} \cdot A) \cdot x = A^{-1} \cdot b \] Da cui \[ x = A^{-1} \cdot b \] in virtù delle proprietà della matrice inversa e di quelle della matrice identica. In questo caso, a quanto pare, esiste sicuramente un vettore soluzione del sistema, ed esso è univocamente determinato perché deve essere necessariamente uguale a \[A^{-1} \cdot b\). Quindi il sistema non solo è possibile, ma anche determinato. Osservazione 1: Naturalmente, non tutti i sistemi lineari di equazioni in incognite sono possibili o determinati, come subito evidenziato dalla seguente coppia di sistemi \[(2 \times 2)\): \[ \begin{cases} x+y=1 \\ x+y=0 \end{cases} ,\quad \begin{cases} x+y=0 \\ x+y=0 \end{cases} \] Il primo di essi è chiaramente impossibile, visto che \[0 \ne 1\). Il secondo di essi, invece, è indeterminato: dato un qualsiasi valore , basta imporre per avere una soluzione del tutto accettabile, il che significa che ne esistono infinite. Osservazione 2: L’osservazione 1 non contraddice il procedimento prima descritto per il fatto che quest’ultimo è applicabile se e solo se la matrice

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è invertibile, e come sappiamo condizione sufficiente affinché questo accada è che sia \[|A| \ne 0\). In entrambi gli esempi dell’osservazione 1 avevamo invece \[|A| = 0\).

Regola di Cramer

Osservazione 3: Anche nel caso in cui sia \[|A| \ne 0\), il metodo della matrice inversa risulta tedioso da applicare perché in primo luogo bisogna calcolare \[A^{-1}\), fatto questo già lungo e complesso di per sé, e quindi fare un ulteriore prodotto righe per colonne. Per semplificare i calcoli applichiamo perciò la seguente regola di Cramer. Regola di Cramer: Consideriamo la forma generica della matrice inversa di : \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{|A|} & \frac{A_{21}}{|A|} & \cdots & \frac{A_{n1}}{|A|} \\ \frac{A_{12}}{|A|} & \frac{A_{22}}{|A|} & \cdots & \frac{A_{n2}}{|A|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{A_{1n}}{|A|} & \frac{A_{2n}}{|A|} & \cdots & \frac{A_{nn}}{|A|} \end{pmatrix} \] Il risultato del prodotto righe per colonne di questa matrice con il vettore \[b\] dei termini noti si calcola facilmente in base alla definizione come \[ [A^{-1} \cdot b]_i = \sum_{j=1}^n [A^{-1}]_{ij} b_j = \sum_{j=1}^n \frac{A_{ji}}{|A|} b_j = \frac{1}{|A|} \sum_{j=1}^n A_{ji} b_j \] L’ultima sommatoria scritta si può, e qui sta il trucco, interpretare come il determinante di quella matrice che si ottiene da sostituendo alla sua -esima colonna il vettore colonna dei termini noti, il determinante essendo naturalmente sviluppato rispetto alla colonna sostituita. Abbiamo così che \[ x_i = \frac{D_i}{|A|} \] ossia che il valore dell’-esima incognita si ottiene dividendo per il determinante di il determinante di quella matrice che si ottiene sostituendo all’-esima colonna di la colonna dei termini noti del sistema. Abbiamo così ottenuto un metodo che evita del tutto il calcolo della matrice inversa, essendo sufficiente a priori calcolare al più determinanti per avere la soluzione.

Esempi applicativi

Esempio 1: Si risolva con la regola di Cramer il sistema \[ \begin{cases} 5x+y+2z=5 \\ x-5y+z=15 \\ -2x+4y+z=-15 \end{cases} \] Per prima cosa scriviamo il sistema in forma matriciale e controlliamo che il determinante della matrice dei coefficienti non sia 0; questo si può fare facilmente con la regola di Sarrus o con il metodo dei triangoli: \[ \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -15 \end{pmatrix} \] \[ |A| = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 1 \\ -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = -25 + 8 - 2 - (20 + 20 + 1) = -19 - 41 = -60 \ne 0 \] Cosicché il metodo della matrice inversa, e conseguentemente la regola di Cramer, sono applicabili. Per avere il valore di , sostituiamo alla prima colonna di il vettore dei termini noti, e calcoliamo il determinante della matrice risultante; lo stesso facciamo per e . \[ \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 15 & -5 & 1 \\ -15 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 15 & -5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 15 & 3 & 6 \\ 15 & -5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0 & 8 & 5 \\ 15 & -5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -105 \] \[ \begin{vmatrix} 5 & 5 & 2 \\ 1 & 15 & 1 \\ -2 & 15 & 1 \end{vmatrix} = 165 \] \[ \begin{vmatrix} 5 & 1 & 5 \\ 1 & -5 & 15 \\ -2 & 4 & 15 \end{vmatrix} = 30 \] Nel primo caso abbiamo voluto mostrare come con le proprietà dei determinanti si possa spesso facilitare i calcoli. Per avere la soluzione non ci resta che dividere i numeri ottenuti per il determinante di , ottenendo \[ x=\frac{7}{4}, \quad y = \frac{11}{4}, \quad z=-\frac{1}{2} \]

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