Cramer

Risolvere un sistema di equazioni

Sistema di equazioni:

Un sistema di due o più equazioni nelle stesse incognite che si vuole siano soddisfatte contemporaneamente si chiama sistema di equazioni.
Per indicare un sistema di equazioni si usa scrivere le equazioni su righe diverse, racchiudendole con una parentesi graffa posta alla loro sinistra.

Per risolvere un sistema si possono utilizzare vari metodi, ed uno di questi è il metodo di Cramer (o Kramer), che risulta particolarmente efficace nel caso di un sistema di equazioni letterali.

Teorema di Cramer:

Dato un sistema della forma

ax + by = c
a'x + b'y = c'

in cui almeno uno dei quattro coefficienti a, b, a', b' è diverso da zero, valgono i seguenti fatti:
- se D ≠ 0, il sistema è determinato e ha come soluzione:
► x = Dx / D
► y = Dy / D
- se D = 0 e, inoltre, Dx ≠ 0 o Dy ≠ 0, il sistema è impossibile;
- se D = Dx = Dy = 0, il sistema è indeterminato.

Metodo di Cramer per un sistema di due equazioni in due incognite:

ax + by = c
a'x + b'y = c'

Consideriamo i coefficienti delle incognite del sistema:

ax + by = c
a'x + b'y = c'

e scriviamoli in uno schema di questo tipo (tra due parentesi quadre)

a bb
a' b'

questo schema si chiama matrice dei coefficienti del sistema: si tratta di una matrice a due righe e due colonne.

Si chiama determinante della matrice, e si indica scrivendo gli elementi della matrice fra due linee verticali il numero così definito:

determinante di
a bb
a' b'
=
a bb
a' b'
=
ab' - a'b

possiamo quindi associare a ogni sistema tre determinanti:

1. il determinante della matrice dei coefficienti del sistema, che si chiama determinante del sistema e si indica con la lettera D:
D = ab' - a'b
a bb
a' b'

2. il determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo al posto della prima colonna i termini noti c e c'; tale determinante si chiama determinante relativo all'incognita x e si indica con il simbolo Dx:
Dx = cb' - c'b
c bb
c' b'

3. il determinante ottenuto da quello del sistema sostituendo al posto della seconda colonna i termini noti c e c'; tale determinante si chiama determinante relativo all'incognita y e si indica con il simbolo Dy:
Dy = ac' - a'c
a bc
a' c'