Si risolva il limite seguente
[math]lim_(x oinfty) frac{x\\sin(1/x)-1}{1/x^2}[/math]
Possiamo facilmente accorgerci che la forma è indeterminata.
Sostituendo infatti si ha
[math]lim_(x oinfty) frac{x\\sin(1/x)-1}{1/x^2}=frac{1-1}{0}=frac{0}{0}[/math]
Usiamo la regola di De L'Hopital.
Poniamo inoltre
[math]1/x=t[/math]
con [math]t->0[/math]
[math]lim_(x oinfty) frac{x\\sin(1/x)-1}{1/x^2}=lim_(t->0) frac{1/tsint-1}{t^2}=lim_(t->0) frac{(sint-t)/t}{t^2}=lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}[/math]
Negli ultimi due passaggi abbiamo sommato le frazioni al numeratore, poi abbiamo portato
[math]t[/math]
di sotto, facendo diventare [math]t^3[/math]
il denominatore.
Ora possiamo passare alle derivate.
Si ha
[math]lim_(t->0) frac{sint-t}{t^3}=lim_(t->0) frac{\\cost-1}{3t^2}[/math]
Portando fuori dal limite
[math]1/3[/math]
[math]1/3lim_(t->0) frac{\\cost-1}{t^2}=1/3lim_(t->0) -frac{1-\\cost}{t^2}[/math]
E ricordando il limite notevole
[math]lim_(y o0) (1-\\cosy)/y^2=1/2[/math]
si ottiene
[math]1/3lim_(t->0) -frac{1-\\cost}{t^2}=1/3 \cdot (-1/2)=-1/6[/math]
Volendo, potremmo anche procedere con gli sviluppi asintotici, quindi
[math]lim_(t rarr0 ) ((sint/t)-1)/t^2[/math]
che si trasforma in
[math]lim_(t rarr 0)((t-t^3/6)/t -1)/t^2 = -1/6 [/math]
FINE
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