Si calcoli
[math]lim_(x->1^-) e^{1/(x-1)}(1-x/((x-1)^2))[/math]
Iniziamo con lo svolgere la somma nella parentesi
[math]lim_(x->1^-) e^{1/(x-1)}(1-x/((x-1)^2))=lim_(x->1^-) (e^{1/(x-1)})(x^2-2x+1-x)/(x-1)^2[/math]
Il numeratore della frazione non fa parte della forma indeterminata perchè vale [math]-1[/math]
, rimane dunque da calcolare
[math]lim_(x->1^-) (e^{1/(x-1)})/(x-1)^2[/math]
Ora possiamo porre, per comodità ,
[math]1/(x-1) =t[/math]
notando che a questo punto [math]t->-oo[/math]
Si ottiene dunque
[math]lim_(t-> -oo) t^2 e^t=lim_(t-> -oo) t^2/ e^{-t}=[/math]
Applicando il teorema di De Hopital otteniamo
[math]=lim_(t-> -oo) (2t)/(- e^{-t})=[/math]
Derivando nuovamente
[math]= lim_(t-> -oo) 2/(e^{-t})=0[/math]
In definitiva
[math]lim_(x->1^-) e^{1/(x-1)}/(x-1)^2(x^2-3x+1)= 0 \cdot (-1)=0[/math]
FINE
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
