Calcolare
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\\sin(\frac{1}{x})}{\sqrt{3x^2 + 1} - \sqrt{3x^2 - 1}}[/math]
Il limite si presenta sotto la forma
[math]\frac{0}{\infty - \infty}[/math]
Moltiplicando a numeratore e denominatore per
[math]\sqrt{3x^2 + 1} + \sqrt{3x^2 - 1}[/math]
si ottiene
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\\sin(\frac{1}{x}) (\sqrt{3x^2 + 1} + \sqrt{3x^2 - 1})}{3x^2 + 1 - 3x^2 + 1} = \lim_{x \to+\infty} \frac{1}{2} \\sin{\frac{1}{x}} (\sqrt{3x^2 + 1} + \sqrt{3x^2 - 1})[/math]
Mettendo in evidenza
[math]\sqrt{x^2}[/math]
si ottiene
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \\sin(\frac{1}{x}) \sqrt{x^2} {\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}}}[/math]
Dato che
[math]\sqrt{x^2} = |x|[/math]
, e dato che per [math]x > 0[/math]
risulta [math]|x| = x[/math]
, allora il limite diventa
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \\sin(\frac{1}{x}) \cdot x \cdot (\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \frac{\\sin{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}} (\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}})[/math]
Ricordando il limite notevole
[math]\lim_{x \to \\pm \infty} \frac{\\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = 1[/math]
il risultato del limite è
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2} \frac{\\sin(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} (\sqrt{3 + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{3 - \frac{1}{x^2}}) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot {\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}[/math]
FINE
![Esercizi sui limiti: [math] \lim_{{{x}\to\infty}}\frac{{{x} \sin{{\left(\frac{1}{{x}}\right)}}-{1}}}{{\frac{1}{{x}^{2}}}} [/math]](https://cdn.skuola.net/shared/thumb/159x141/news_foto/images/stories/esercizi/lim_e24.gif)
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