Come calcolare i divisori di un numero: la macchina dei divisori

In quest'appunto troverai delle definizioni generali sul calcolo dei divisori e in particolare sull'utilizzo della macchina dei divisori.

Cosa sono i divisori e come calcolarli

Conoscere i divisori e i multipli di un numero è importante poiché consente di velocizzare lo svolgimento di operazioni di calcolo come le somme e le differenze tra frazioni.
Un numero si definisce divisore di un altro quando dividendo il secondo per il primo si ha una divisione perfetta, ossia senza resto.

Per comprendere quali siano i divisori di un numero esistono diversi approcci. In particolare:

• si può scomporre in fattori primi il numero e, una volta scomposto, valutare i divisori. Questo metodo - sebbene sia il più lungo - risulta essere il metodo più completo, poiché può essere applicato a qualsiasi numero scomponibile in fattori primi
• è possibile verificare se un numero sia divisore di un altro utilizzando i criteri di divisibilità.
  Essi sono delle regole dimostrabili attraverso cui è possibile capire, osservando soltanto la struttura del numero, se esso sia divisibile per un determinato valore oppure no. E' proprio grazie a queste regole che è possibile affermare con certezza che numeri divisibili per
  [math]2[/math]
  terminano con cifre pari e che un numero è divisibile per
  [math]3[/math]
  se la somma delle cifre che lo compongono restituisce un multiplo di
  [math]3[/math]
  . Nonostante il loro utilizzo sia particolarmente conveniente, i criteri di divisibilità esistono soltanto per una quantità ristretta di numeri. Per tutti gli altri casi, è necessario scegliere l'opzione precedentemente introdotta oppure la seguente
• i divisori di un numero possono essere verificati anche attraverso l'utilizzo della macchina dei divisori, presentata nella parte finale di questi appunti

Esempio sul calcolo dei divisori: i divisori del numero 24

Per calcolare i divisori del numero bisogna effettuare la scomposizione in fattori primi. Essa può essere svolta dividendo per il divisore più piccolo possibile il numero fino ad ottenere il valore . Più piccoli sono i divisori utilizzabili, più lungo sarà il processo di scomposizione.
Per il numero la scomposizione è:

da cui è possibile scrivere

, quindi sono divisori del numero .

Come calcolare i divisori attraverso l'utilizzo della macchine dei divisori

La macchina dei divisori permette di verificare i divisori di numeri piuttosto piccoli (quella realizzata nel file in allegato si limita ai primi numeri). Questo perché la macchina realizzata ha una velocità di un giro al secondo, quindi per elaborare numeri grossi potrebbe impiegarci un tempo piuttosto lungo.

La macchina dei divisori è una macchina costituita da un numero infinito di ruote dentate collegate da una catena a una ruota motrice. Le ruote hanno un numero di denti progressivamente maggiore: ad ogni giro della prima ruota, la seconda fa mezzo giro, la terza

di giro e così via. Ogni ruota ha un dente metallico che a ogni giro completo fa accendere una lampadina, rappresentata con uno smile. Il funzionamento della macchina dei divisori si basa sulla chiusura del contatto elettrico ad ogni giro completo delle varie ruote con conseguente accensione della lampadina.
Per avviare la macchina, inserire il numero di cui si vogliono conoscere i divisori, premere il tasto azzurro e la macchina parte.

Quando la ruota motrice ha effettuato il numero di giri impostato si arresta e rimangono accese le lampadine relative ai divisori del numero impostato.
A questo proposito occorre rilevare che se rimane accesa un'unica lampadina al di sotto del numero impostato allora questo numero è un numero primo mentre se rimangono accese due sole lampadine allora il numero impostato è il quadrato di un numero primo.

Utilizzando questa macchina - scaricala in formato XLS- puoi verificare i risultati ottenuti dal calcolo manuale dei divisori del numero

.

Per ulteriori approfondimenti sul calcolo dei divisori vedi anche qui