Come calcolare la media aritmetica

In questo appunto si troveranno delle informazioni riguardanti la definizione di media aritmetica e il suo calcolo.

Cos'è la media aritmetica e a cosa serve

Quello di media aritmetica è un concetto molto utilizzato in statistica e in fisica, perché permette di individuare il valore più probabile di una misura.

La misura di una grandezza non è infatti un valore perfettamente definito. Questo perchè le operazioni di misura, pur eseguite con accuratezza e con gli strumenti più idonei, sono soggette a molti tipi di errore: errori di sensibilità dello strumento ( solitamente indicati dall'azienda produttrice) ma anche gli errori casuali (cioè prodotti da una molteplicità di cause non ben individuabili che possono agire a volte per difetto ed altre per eccesso) oppure errori sistematici.

Gli errori sistematici sono dovuti a deficienze degli strumenti di misura, oppure all'uso di leggi o metodi errati di misura. Essi possono essere facilmente eliminati in quanto si ripetono quando vengono effettuate misurazioni multiple. Ben diverso è il discorso relativo agli errori di sensibilità o agli errori casuali : questi sono invece sempre presenti ma il loro valore non è costante. Ne consegue che può accadere che nel ripetere la misurazione di una stessa grandezza non si trovi sempre lo stesso valore.

Se dunque la misura di una grandezza eseguita con gli strumenti di misura non è un valore perfettamente definito, quale sarà il valore più probabile della grandezza? In questo ci viene in aiuto la media aritmetica.

Come calcolare la media aritmetica di una serie di valori ottenuti sperimentalmente

Supponiamo dunque di avere eseguito una serie di misurazioni della medesima grandezza, sempre con lo stesso strumento e per opera dello stesso sperimentatore.

Supponiamo che le

misurazioni eseguite abbiano permesso di individuare ogni volta una certa misura della grandezza (

). Alcune di queste misure potranno anche essere uguali, ma per la maggior parte saranno differenti, a causa degli errori di misura precedentemente elencati.

Con il calcolo delle probabilità si dimostra che il valore più attendibile della grandezza è la media aritmetica, definita come il rapporto tra la somma di tutte le misurazioni eseguite ed il loro numero.
In linguaggio matematico possiamo dire che:

Esempio sul calcolo media aritmetica

Supponiamo ad esempio di aver eseguite

di una medesima grandezza (la lunghezza di un filo, il peso di un oggetto, etc.), e che queste abbiano permesso di ottenere ogni volta i seguenti valori:

.

La somma dei seguenti valori è pari a

.

Noto questo valore e considerando che sono state effettuate

misurazioni, possiamo definire la media aritmetica.
La media aritmetica (e quindi il valore più probabile della grandezza) sarà pari a:

Come calcolare la media ponderata

La statistica ci insegna che la media aritmetica non è l'unica media esistente e che ne esistono altre più "precise". Per esempio la media aritmetica attribuisce a tutti i valori la medesima importanza senza tener conto di quante volte il medesimo valore si ripete. Tuttavia è senza dubbio la più semplice.

Un altro tipo di media è la media pesata o ponderata: come suggerito dal nome, essa assegna ad ogni valore incluso nella media un certo peso (e quindi una certa rilevanza). I pesi sono solitamente espressi attraverso un numero compreso tra

e

o in percentuali e valori con peso maggiore influenzeranno di più quello della media.

Questo tipo di media è particolarmente utilizzato nelle università per calcolare la media dei voti tenendo conto del differente valore di CFU relativo agli esami.

Chiamando

i valori misurati e

i rispettivi pesi, la media ponderata può essere definita come:

Esempio sul calcolo della media ponderata

Come già anticipato, il calcolo della media ponderata può essere utilizzato per valutare la media dei voti di uno studente universitario. Facciamo un esempio.

Lo studente

ha conseguito 7 esami. La seguente tabella mostra il peso in CFU di ciascun esame e la valutazione ottenuta:

Applicando la formula dell'equazione ponderata, dobbiamo prima di tutto sommare i prodotti tra il voto e il peso relativo ad ogni esame. Quindi:

. A questo punto effettuiamo la somma di tutti i pesi:

.

Per ottenere il valore di media ponderata, dividiamo questi due valori:

Per ulteriori approfondimenti sulla media aritmetica vedi anche qua