Calcolo della media aritmetica

La media aritmetica

Quello di media aritmetica è un concetto molto utilizzato in statistica e in fisica, perché permette di individuare il valore più probabile di una misura.

La misura di una grandezza non è infatti un valore perfettamente definito, purtroppo. Questo perchè le operazioni di misura, pur eseguite con accuratezza e con gli strumenti più idonei, sono soggette a molti tipi di errore: errori di sensibilità dello strumento, errori casuali (cioè prodotti da una molteplicità di cause non ben individuabili che possono agire a volte per difetto ed altre per eccesso) oppure errori sistematici.

Gli errori sistematici sono dovuti a deficienze degli strumenti di misura, oppure all'uso di leggi o metodi errati di misura. Pertanto possono essere facilmente eliminati. Gli errori di sensibilità o gli errori casuali sono invece, bene o male, sempre presenti. Ne consegue che può accadere che nel ripetere la misurazione di una stessa grandezza non si trovi sempre lo stesso valore.

Se dunque la misura di una grandezza eseguita con gli strumenti di misura non è un valore perfettamente definito, quale sarà il valore più probabile della grandezza? In questo ci viene in aiuto la media aritmetica.

Regole

Supponiamo dunque di avere eseguito una serie di misurazioni della medesima grandezza, sempre con lo stesso strumento e per opera dello stesso sperimentatore.
Supponiamo che le n misurazioni eseguite abbiano permesso di individuare ogni volta una certa misura della grandezza (x1, x2...xn). Alcune di queste misure potranno anche essere uguali, ma per la maggior parte saranno differenti, a causa degli errori di misura precedentemente elencati.

Con il calcolo delle probabilità si dimostra che il valore più attendibile della grandezza è la media aritmetica, definita come il rapporto tra la somma di tutte le misurazioni eseguite ed il loro numero.
In linguaggio matematico:

Supponiamo ad esempio di aver eseguite 10 misurazioni di una medesima grandezza (la lunghezza di un filo, il peso di un oggetto...), e che queste abbiano permesso di ottenere ogni volta i seguenti valori: 4,38; 4,43; 4,39; 4,44; 4,38; 4,39; 4,44; 4,42; 4,41; 4,42.

La somma dei seguenti valori è pari a 44,1.

La media aritmetica (e quindi il valore più probabile della grandezza) sarà pari a:

La statistica ci insegna che la media aritmetica non è l'unica media esistente, e che ne esistono altre più "precise". Per esempio la media aritmetica attribuisce a tutti i valori la medesima importanza, senza tener conto di quante volte il medesimo valore si ripete. Tuttavia è senza dubbio la più semplice.