Operazione binaria, elemento neutro e gruppo abeliano

Basi dell'algebra lineare

Definizione

Una operazione binaria interna ad un insieme G `e un’applicazione ∗ : G × G → G
L’immagine della coppia (x, y) si denotera' con x ∗ y anzichè ∗(x, y).

Esempi

-le operazioni di somma e prodotto sono operazioni binarie interne a N (insieme dei numeri naturali 1, 2, . . .), Z (insieme dei numeri interi), Q (insieme dei numeri razionali), R (insieme dei numeri reali);
-l’operazione di differenza non è un’operazione binaria interna a N, ma lo è a Z, Q, R;
-per ogni n ∈ N, l’operazione di composizione `e un’operazione binaria interna all’insieme Sn delle permutazioni su n oggetti (applicazioni biettive dall’insieme di numeri naturali {1, 2, . . . , n} in se stesso).

Definizione

e ∈ G si dice elemento neutro se g ∗ e = e ∗ g = g per ogni g ∈ G un elemento g ∈ G si dice invertibile se esiste ¯g ∈ G tale che g ∗ g¯ = ¯g ∗ g = e

Definizione

La coppia (G, ∗) si dice gruppo se ∗ è associativa: per ogni g, g0, g00 ∈ G si ha (g ∗ g0) ∗ g00 = g ∗ (g0 ∗ g00) esiste l’elemento neutro (in tal caso è unico) e ogni elemento di G `e invertibile (in tal caso l’inverso è unico)
Il gruppo si dice abeliano o commutativo se vale la proprietà commutativa: per ogni g, g0 ∈ G si ha g ∗ g0 = g0 ∗ g