Gruppo simmetrico

In matematica, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria per cui vale la proprietà associativa (come la somma o il prodotto) in cui è presente l'elemento neutro e l'inverso per ciascuno dei suoi elementi.
Un gruppo può contenere un numero finito o infinito di elementi.
Questo appunto analizza i gruppi simmetrici, ed in particolare nell'ambito dei gruppi finiti.

Il gruppo simmetrico

Nell'ambito dei gruppi finiti, quello che potremmo chiamare "padre di tutti i gruppi" è il gruppo simmetrico.
Spieghiamo cos'è un gruppo simmetrico con qualche semplice esempio. Parlando in termini generali, è l'insieme delle permutazioni di oggetti. Supponiamo che siano semplici lettere del nostro alfabeto, anche se si ottiene lo stesso permutando lettere, numeri, palline colorate, ecc. Tutti i gruppi di permutazione sono isomorfi.
Scriviamo, per esempio, due permutazioni e di quattro oggetti; per effettuare facilmente le operazioni, scriveremo



L'operazione del gruppo si definirà nel modo più naturale possibile trattandosi di permutazioni. Dove va a finire ? Come indicato in , si trasforma in . E che cosa diventa ? Per si trasforma nuovamente in . Vale a dire, che alla fine si trasforma in . Seguendo il procedimento otteniamo infine la permutazione



Scriviamo nella maniera più naturale. L'operazione fra permutazioni consiste nell'applicare una (quella a destra, ricordiamolo) e poi l'altra. Come risultato si ha una permutazione, che può essere una delle due precedenti oppure no. La struttura del gruppo è evidente, in quanto le permutazioni sono associative (per la definizione di permutazione fisica) ed esiste una permutazione privilegiata:

,

che consiste nel lasciare tutto invariato, e agisce come elemento neutro. Esiste anche un elemento inverso, poiché se




basta considerare come inverso la permutazione che riporta ogni elemento al suo posto:




perché allora .
Osserviamo che questa operazione associata al gruppo simmetrico è molto simile alla composizione di funzioni. D'altronde potrebbe avere senso considerare una permutazione come una funzione da un insieme a sé stesso, ma con un ordine diverso degli elementi.

Segno di una permutazione

Torniamo a , sottolineando che la seguente definizione vale per qualunque gruppo simmetrico; ogni permutazione di ha un segno, positivo o negativo, anche se non si distingue a prima vista.
Definizione: Una trasposizione è quella permutazione che cambia soltanto due elementi, l'uno con l'altro.

Come semplice conseguenza, anche se non è facile da dimostrare, deriva che ogni permutazione è il risultato dell'applicazione di diverse trasposizioni, una dopo l'altra.
Quando in numero di trasposizioni è pari, il segno di è positivo; quando il numero di trasposizioni è dispari, il segno di è negativo.
Il numero di permutazioni di elementi è quindi la cardinalità vale:

L'insieme formato da tutte le trasposizioni positive si indica con , ed è detto gruppo alterno di ordine . Com'è ovvio, .
Il gruppo alterno non è abeliano per . Poiché il numero delle trasposizioni positive è uguale a quello delle negative, .

Esempi vari

sarà formato da tutte le permutazioni possibili di una sola lettera, per esempio, la . Non è un problema, perché esiste soltanto una permutazione che trasforma l'espressione "" in "", cioè in se stessa. Il gruppo ha un unico elemento, ed è pertanto il gruppo banale che contiene l'elemento neutro.
è l'insieme delle permutazioni di due elementi, che contiene soltanto due permutazioni:



ed è un gruppo ciclico, isomorfo a . Naturalmente, è un gruppo abeliano.
è isomorfo al gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero. Ha sei elementi, che permutano tre lettere , un con le altre. . non è quindi abeliano, come lo sono i gruppi simmetrici successivi.
coincide con il gruppo di simmetria del tetraedro, il poliedro regolare con vertici. Ha elementi distribuiti in rotazioni e simmetrie con torsione. è isomorfo alle rotazioni proprie del cubo, per cui un gruppo completo di simmetrie di un poliedro risulta sottogruppo delle simmetrie del seguente.
si comporta diversamente poiché, oltre a tenere permutazioni, un numero già ragguardevole, è, come vedremo, il primo gruppo simmetrico non solubile, come anche tutti i gruppi successivi. Da questa considerazione segue il famoso risultato di Galois: non esiste una formula aritmetica semplice che risolva tutte le equazioni di grado superiore o uguale al quinto.
Naturalmente, in seguito tratteremo e il fatto che non sia un gruppo solubile. Ricordiamo però che questo significa che non esiste una catena di sottogruppi normali che finiscono in :



e i cui gruppi quoziente intermedi siano abeliani. Dobbiamo quindi studiare i sottogruppi normali di come primo passo per sapere se sono o meno solubili.
Un altro risultato importante tra quelli correlati con il gruppo simmetrico si deve a Cayley, e afferma che ogni gruppo finito è isomorfo a qualunque sottogruppo di un gruppo simmetrico.