IL GRUPPO SIMMETRICO

In matematica, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria per cui vale la proprietà associativa (come la somma o il prodotto) in cui è presente l'elemento neutro e l'inverso per ciascuno dei suoi elementi.
Un gruppo può contenere un numero finito o infinito di elementi.

Questo appunto analizza i gruppi simmetrici, ed in particolare nell'ambito dei gruppi finiti.

Nell'ambito dei gruppi finiti, quello che potremmo chiamare "padre di tutti i gruppi" è il gruppo simmetrico.

Spieghiamo cos'è un gruppo simmetrico con qualche semplice esempio. Parlando in termini generali,

[math]S_{n}[/math]
è l'insieme delle permutazioni di
[math]n[/math]
oggetti. Supponiamo che siano semplici lettere del nostro alfabeto, anche se si ottiene lo stesso permutando lettere, numeri, palline colorate, ecc. Tutti i gruppi di permutazione sono isomorfi.

Scriviamo, per esempio, due permutazioni

[math]p_{1}[/math]
e
[math]p_{2}[/math]
di quattro oggetti; per effettuare facilmente le operazioni, scriveremo


[math]p_{1}=\begin{bmatrix}a&b&c&d\\c&a&b&d\\\end{bmatrix}, p_{2}=\begin{bmatrix}a&b&c&d\\b&d&c&a\\\end{bmatrix}[/math]


L'operazione del gruppo si definirà nel modo più naturale possibile trattandosi di permutazioni. Dove va a finire

[math]a[/math]
? Come indicato in
[math]p_{2}[/math]
,
[math]a[/math]
si trasforma in
[math]b[/math]
. E che cosa diventa
[math]b[/math]
? Per
[math]p_{1}[/math]
si trasforma nuovamente in
[math]a[/math]
. Vale a dire, che alla fine
[math]a[/math]
si trasforma in
[math]a[/math]
. Seguendo il procedimento otteniamo infine la permutazione


[math]p_{3}=\begin{bmatrix}a&b&c&d\\a&d&b&c\\\end{bmatrix}[/math]


Scriviamo

[math]p_{1}•p_{2}=p_{3}[/math]
nella maniera più naturale. L'operazione fra permutazioni consiste nell'applicare una (quella a destra, ricordiamolo) e poi l'altra. Come risultato si ha una permutazione, che può essere una delle due precedenti oppure no. La struttura del gruppo è evidente, in quanto le permutazioni sono associative (per la definizione di permutazione fisica) ed esiste una permutazione privilegiata:


[math]n=\begin{bmatrix}a&b&c&d\\a&b&c&d\\\end{bmatrix}[/math]
,


che consiste nel lasciare tutto invariato, e agisce come elemento neutro. Esiste anche un elemento inverso, poiché se


[math]p=\begin{bmatrix}a&b&c&d\\b&d&a&c\\\end{bmatrix}[/math]


basta considerare come inverso la permutazione che riporta ogni elemento al suo posto:


[math]p^{-1}=\begin{bmatrix}a&b&c&d\\c&a&d&b\\\end{bmatrix}[/math]


perché allora

[math]p•p^{-1}=p^{-1}•p=n[/math]
.

Torniamo a

[math]S_{n}[/math]
, sottolineando che la seguente definizione vale per qualunque gruppo simmetrico; ogni permutazione
[math]p[/math]
di
[math]S_{n}[/math]
ha un segno, positivo o negativo, anche se non si distingue a prima vista.

Una trasposizione è quella permutazione che cambia soltanto due elementi, l'uno con l'altro; come semplice conseguenza, anche se non è facile da dimostrare, deriva che ogni permutazione è il risultato dell'applicazione di diverse trasposizioni, una dopo l'altra.

Quando in numero di trasposizioni è pari, il segno di

[math]p[/math]
è positivo; quando il numero di trasposizioni è dispari, il segno di
[math]p[/math]
è negativo.
Il numero di permutazioni di
[math]n[/math]
elementi è
[math]n![/math]


[math]|S_{n}|=n![/math]


L'insieme formato da tutte le trasposizioni positive si indica con

[math]A_{n}[/math]
, ed è detto gruppo alterno di ordine
[math]n[/math]
. Com'è ovvio,
[math]A_{n} \subset S_{n}[/math]
.

Il gruppo alterno non è abeliano per

[math]n>3[/math]
. Poiché il numero delle trasposizioni positive è uguale a quello delle negative,
[math]|A_{n}|=|S_{n}|/2[/math]
.

[math]S_{1}[/math]
sarà formato da tutte le permutazioni possibili di una sola lettera, per esempio, la
[math]a[/math]
. Non è un problema, perché esiste soltanto una permutazione che trasforma l'espressione "
[math]a[/math]
" in "
[math]a[/math]
", cioè in se stessa. Il gruppo
[math]S_{1}[/math]
ha un unico elemento, ed è pertanto il gruppo banale che contiene l'elemento neutro.

[math]S_{2}[/math]
è l'insieme delle permutazioni di due elementi, che contiene soltanto due permutazioni:


[math]n=\begin{bmatrix}a&b\\a&b\\\end{bmatrix}, p=\begin{bmatrix}a&b\\b&a\\\end{bmatrix}[/math]


ed è un gruppo ciclico, isomorfo a

[math]\mathbb{Z}_{2}[/math]
. Naturalmente, è un gruppo abeliano.

[math]S_{3}[/math]
è isomorfo al gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero. Ha sei elementi, che permutano tre lettere
[math]a,b,c[/math]
, un con le altre.
[math]S_{3}>D_{3}[/math]
.
[math]S_{3}[/math]
non è quindi abeliano, come lo sono i gruppi simmetrici
[math]S_{n}[/math]
successivi.

[math]S_{4}[/math]
coincide con il gruppo di simmetria del tetraedro, il poliedro regolare con
[math]4[/math]
vertici. Ha
[math]24[/math]
elementi distribuiti in
[math]12[/math]
rotazioni e
[math]12[/math]
simmetrie con torsione.
[math]S_{4}[/math]
è isomorfo alle rotazioni proprie del cubo, per cui un gruppo completo di simmetrie di un poliedro risulta sottogruppo delle simmetrie del seguente.

[math]S_{5}[/math]
si comporta diversamente poiché, oltre a tenere
[math]120[/math]
permutazioni, un numero già ragguardevole, è, come vedremo, il primo gruppo simmetrico non solubile, come anche tutti i gruppi successivi. Da questa considerazione segue il famoso risultato di Galois: non esiste una formula aritmetica semplice che risolva tutte le equazioni di grado superiore o uguale al quinto.

Naturalmente, in seguito tratteremo

[math]S_{5}[/math]
e il fatto che non sia un gruppo solubile. Ricordiamo però che questo significa che non esiste una catena di sottogruppi normali che finiscono in
[math]S_{5}[/math]
:


[math]\{n\}=G_{1} \subset G_{2} \subset G_{3} \subset ... \subset G_{n}=S_{5}[/math]


e i cui gruppi quoziente intermedi siano abeliani. Dobbiamo quindi studiare i sottogruppi normali di

[math]S_{5}[/math]
come primo passo per sapere se sono o meno solubili.

Un altro risultato importante tra quelli correlati con il gruppo simmetrico si deve a Cayley, e afferma che ogni gruppo finito è isomorfo a qualunque sottogruppo di un gruppo simmetrico.

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