Gruppo simmetrico

In matematica, un gruppo è una struttura algebrica caratterizzata da un'operazione binaria per cui vale la proprietà associativa (come la somma o il prodotto) in cui è presente l'elemento neutro e l'inverso per ciascuno dei suoi elementi.
Un gruppo può contenere un numero finito o infinito di elementi.

Questo appunto analizza i gruppi simmetrici, ed in particolare nell'ambito dei gruppi finiti.

Nell'ambito dei gruppi finiti, quello che potremmo chiamare "padre di tutti i gruppi" è il gruppo simmetrico.

Spieghiamo cos'è un gruppo simmetrico con qualche semplice esempio. Parlando in termini generali,

è l'insieme delle permutazioni di oggetti. Supponiamo che siano semplici lettere del nostro alfabeto, anche se si ottiene lo stesso permutando lettere, numeri, palline colorate, ecc. Tutti i gruppi di permutazione sono isomorfi.

Scriviamo, per esempio, due permutazioni

e di quattro oggetti; per effettuare facilmente le operazioni, scriveremo

L'operazione del gruppo si definirà nel modo più naturale possibile trattandosi di permutazioni. Dove va a finire

? Come indicato in , si trasforma in . E che cosa diventa ? Per si trasforma nuovamente in . Vale a dire, che alla fine si trasforma in . Seguendo il procedimento otteniamo infine la permutazione

Scriviamo

nella maniera più naturale. L'operazione fra permutazioni consiste nell'applicare una (quella a destra, ricordiamolo) e poi l'altra. Come risultato si ha una permutazione, che può essere una delle due precedenti oppure no. La struttura del gruppo è evidente, in quanto le permutazioni sono associative (per la definizione di permutazione fisica) ed esiste una permutazione privilegiata:

,

che consiste nel lasciare tutto invariato, e agisce come elemento neutro. Esiste anche un elemento inverso, poiché se

basta considerare come inverso la permutazione che riporta ogni elemento al suo posto:

perché allora

.

Torniamo a

, sottolineando che la seguente definizione vale per qualunque gruppo simmetrico; ogni permutazione di ha un segno, positivo o negativo, anche se non si distingue a prima vista.

Una trasposizione è quella permutazione che cambia soltanto due elementi, l'uno con l'altro; come semplice conseguenza, anche se non è facile da dimostrare, deriva che ogni permutazione è il risultato dell'applicazione di diverse trasposizioni, una dopo l'altra.

Quando in numero di trasposizioni è pari, il segno di

è positivo; quando il numero di trasposizioni è dispari, il segno di è negativo.
Il numero di permutazioni di elementi è

L'insieme formato da tutte le trasposizioni positive si indica con

, ed è detto gruppo alterno di ordine . Com'è ovvio, .

Il gruppo alterno non è abeliano per

. Poiché il numero delle trasposizioni positive è uguale a quello delle negative, .

sarà formato da tutte le permutazioni possibili di una sola lettera, per esempio, la . Non è un problema, perché esiste soltanto una permutazione che trasforma l'espressione "" in "", cioè in se stessa. Il gruppo ha un unico elemento, ed è pertanto il gruppo banale che contiene l'elemento neutro.

è l'insieme delle permutazioni di due elementi, che contiene soltanto due permutazioni:

ed è un gruppo ciclico, isomorfo a

. Naturalmente, è un gruppo abeliano.

è isomorfo al gruppo delle simmetrie di un triangolo equilatero. Ha sei elementi, che permutano tre lettere , un con le altre. . non è quindi abeliano, come lo sono i gruppi simmetrici successivi.

coincide con il gruppo di simmetria del tetraedro, il poliedro regolare con vertici. Ha elementi distribuiti in rotazioni e simmetrie con torsione. è isomorfo alle rotazioni proprie del cubo, per cui un gruppo completo di simmetrie di un poliedro risulta sottogruppo delle simmetrie del seguente.

si comporta diversamente poiché, oltre a tenere permutazioni, un numero già ragguardevole, è, come vedremo, il primo gruppo simmetrico non solubile, come anche tutti i gruppi successivi. Da questa considerazione segue il famoso risultato di Galois: non esiste una formula aritmetica semplice che risolva tutte le equazioni di grado superiore o uguale al quinto.

Naturalmente, in seguito tratteremo

e il fatto che non sia un gruppo solubile. Ricordiamo però che questo significa che non esiste una catena di sottogruppi normali che finiscono in :

e i cui gruppi quoziente intermedi siano abeliani. Dobbiamo quindi studiare i sottogruppi normali di

come primo passo per sapere se sono o meno solubili.

Un altro risultato importante tra quelli correlati con il gruppo simmetrico si deve a Cayley, e afferma che ogni gruppo finito è isomorfo a qualunque sottogruppo di un gruppo simmetrico.