Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Supponiamo che il peso corporeo (misurato in kg) di una popolazione di operai edili si distribuisca secondo una variabile aleatoria di media m = 77 e deviazione standard \sigma = 9,4 .

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1) Utilizziamo delle variabili aleatorie

[math]X_i[/math]

per indicare il peso degli operai; l'indice i corrisponde al peso dell'operaio i-esimo. Tali variabili aleatorie sono indipendenti e identicamente distribuite, ed hanno media m = 77 e deviazione standard

[math] \sigma = 9.4 [/math]

Per una successione di variabili aleatorie

[math]{X_n}[/math]

, la media campionaria:

[math]\bar{X_n} = \frac{X_1 + X_2 + \ldots + X_n}{n}[/math]

Utilizzando l'approssimazione standard, sappiamo che sottraendo a tale variabile la sua media, e dividendo per la deviazione standard, otteniamo una variabile aleatoria che si comporta approssimativamente come una normale standard.

Quindi, la probabilità che la media campionaria sia compresa tra due valori fissati è la seguente (indichiamo con

[math]S_n[/math]

la somma campionaria):

[math] P(75 \leq \bar{X_n} \leq 79) = P(75n \leq S_n \leq 79n) = P\left(\frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}} \leq \frac{S_n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}} \leq \frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) [/math]

Indichiamo con W la variabile aleatoria approssimata con una normale:

[math] P(75 \leq \bar{X_n} \leq 79) = P\left(\frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}} \leq W \leq \frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) = [/math]

[math] P\left(W \leq \frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) - P\left(W \leq \frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) = [/math]

[math] \Phi\left(\frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) - \Phi\left(\frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) [/math]

Nel primo caso, la numerosità del campione è n = 36; sostituiamo quindi i dati numerici:

[math] \Phi\left(\frac{79 \cdot 36 - 36 \cdot 77}{9.4 \cdot \sqrt{36}}\right) - \Phi\left(\frac{75 \cdot 36 - 36 \cdot 77}{9.4 \cdot \sqrt{36}}\right) = [/math]

[math] \Phi\left(\frac{2844 - 2772}{56.4}\right) - \Phi\left(\frac{2700 - 2772}{56.4}\right) = [/math]

[math] \Phi\left(\frac{72}{56.4}\right) - \Phi\left(\frac{-72}{56.4}\right) = \Phi(1.27) - \Phi(-1.27) [/math]

Applicando le proprietà della funzione di distribuzione della normale standard si ottiene:

[math] \Phi(1.27) - \Phi(-1.27) = 2 \cdot \Phi(1.27) - 1[/math]

Ricavando i valori numerici dalla tabella della normale standard si ottiene la probabilità richiesta:

[math] 2 \cdot \Phi(1.27) - 1 = 2 \cdot 0.8980 - 1 = 0.796 [/math]

2) Per il secondo punto possiamo ragionare in maniera analoga, considerando in questo caso un campione di grandezza maggiore (n = 144).

Il procedimento da seguire è lo stesso:

[math] P(75 \leq \bar{X_n} \leq 79) = P(75n \leq S_n \leq 79n) = [/math]

[math]P\left(\frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}} \leq \frac{S_n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}} \leq \frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) [/math]

[math] P\left(\frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}} \leq W \leq \frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) = [/math]

[math] P\left(W \leq \frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) - P\left(W \leq \frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) = [/math]

[math] \Phi\left(\frac{79n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) - \Phi\left(\frac{75n - n \cdot E[X]}{\sqrt{Var(X) \cdot n}}\right) [/math]

Sostituiamo i valori numerici considerando n = 144:

[math] \Phi\left(\frac{79 \cdot 144 - 144 \cdot 77}{9.4 \cdot \sqrt{144}}\right) - \Phi\left(\frac{75 \cdot 144 - 144 \cdot 77}{9.4 \cdot \sqrt{144}}\right) = [/math]

[math] \Phi\left(\frac{11376 - 11088}{112.8}\right) - \Phi\left(\frac{10800 - 11088}{112.8}\right) = [/math]

[math] \Phi\left(\frac{288}{112.8}\right) - \Phi\left(\frac{-288}{112.8}\right) = \Phi(2.55) - \Phi(-2.55) [/math]

Applicando le proprietà della funzione di distribuzione della normale standard si ottiene:

[math] \Phi(2.55) - \Phi(-2.55) = 2 \cdot \Phi(2.55) - 1[/math]

Ricavando i valori numerici dalla tabella della normale standard si ottiene la probabilità richiesta:

[math] 2 \cdot \Phi(2.55) - 1 = 2 \cdot 0.9946 - 1 = 0.9892 [/math]

Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Supponiamo che il peso corporeo (misurato in kg) di una popolazione di operai edili si distribuisca secondo una variabile aleatoria di media m = 77 e deviazione standard [math] \sigma = 9,4 [/math].

1) Se la numerosità del campione considerato è n = 36, quanto vale la probabilità che la media campionaria dei loro pesi sia compresa tra 75 e 79? 2) E se il campione ha numerosità 144?

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