1) Indichiamo con
[math]X_i[/math]
la variabile aleatoria che vale 1 se l'i-esimo dischetto è privo di difetti, e vale 0 altrimenti. Allora le variabili aleatorie
[math]X_i[/math]
sono indipendenti e Bernoulliane di parametro p incognito. Se indichiamo con X la somma di tali variabili aleatorie, ovvero:
[math]X = X_1 + \ldots + X_n[/math]
allora X indica il numero di dischetti che sono senza difetti; X è una variabile aleatoria Binomiale di parametri n e p.
Il problema fornisce la media campionaria ottenuta dagli n dischetti esaminati.
Dalle formule note, possiamo costruire un intervallo di confidenza per la media della distribuzione:
[math] I = [\bar{x}n - \frac{?}{\sqrt{n}} \cdot z{1-\frac{\alpha}{2}} , \bar{x}n + \frac{?}{\sqrt{n}} \cdot z{1-\frac{\alpha}{2}} ] [/math]
dove
[math]\sigma[/math]
è la deviazione standard del campione (incognita),
[math]z_{1-\frac{\alpha}{2}}[/math]
è il quantile di ordine
[math]1-\frac{\alpha}{2}[/math]
della distribuzione normale standard e
[math]\bar{x}_n[/math]
è appunto la media campionaria.
Analizziamo i dati che fornisce il problema:
[math]n = 100[/math]
[math]\bar{x}_n = 0,8[/math]
[math]1-\alpha = 0,95 \quad \text{o} \quad 1-\frac{\alpha}{2} = 0,975[/math]
Dalla tavola dei valori della distribuzione normale standard possiamo trovare che il quantile di ordine
[math]1-\frac{\alpha}{2}[/math]
è 1,96.
Il valore di σ può essere stimato; considerando che in generale
[math]\sigma=\sqrt{p(1-p)}[/math]
per una variabile di Bernoulli, sappiamo che tale quantità è sicuramente minore di 0,5. Possiamo usare tale valore per approssimare la deviazione standard:
[math] I = [ 0,8 - \frac{0,5}{\sqrt{100}} \cdot 1,96 ; 0,8 + \frac{0,5}{\sqrt{100}} \cdot 1,96 ] = [ 0,8 - \frac{0,5}{10} \cdot 1,96 ; 0,8 + \frac{0,5}{10} \cdot 1,96 ] = [/math]
[math] [ 0,8 - 0,098 ; 0,8 + 0,098 ] = [0,702 ; 0,898][/math]
2) Per risolvere il secondo punto possiamo utilizzare l'approssimazione normale; ricordiamo che la quantità
[math]\frac{S_n - n\cdot p}{\sigma \cdot \sqrt{n}}[/math]
si comporta come una normale standard per n molto grande (con
[math]S_n[/math]
abbiamo indicato la somma campionaria). Quindi possiamo utilizzare questo risultato per approssimare la probabilità richiesta dal problema:
[math]P(|\bar{X}_n - q| \leq 0,01) = P(|\frac{1}{n} \cdot S_n| \leq 0,01) = P(|S_n| \leq 0,01 \cdot n) = [/math]
[math]P(|\frac{S_n - nq}{\sigma \cdot \sqrt{n}}| \leq \frac{0,01 \cdot n}{\sigma \cdot \sqrt{n}}) [/math]
Se chiamiamo con W una variabile aleatoria che si comporta come una normale standard otteniamo:
[math]P(|W| \leq \frac{0,01 \cdot n}{\sigma \cdot \sqrt{n}}) [/math]
Il problema fornisce tutti i dati necessari; sostituiamo i valori numerici:
[math] P(|W| \leq \frac{0,01 \cdot n}{\sigma \cdot \sqrt{n}}) = P( |W| \leq \frac{0,01 \cdot n}{0,4 \cdot \sqrt{n}} ) = [/math]
[math] P(|W| \leq \frac{\sqrt{n}}{40} ) = P(-\frac{\sqrt{n}}{40} \leq W \leq \frac{\sqrt{n}}{40} ) = [/math]
[math]P( W \leq \frac{\sqrt{n}}{40} ) - P(W \leq - \frac{\sqrt{n}}{40} ) [/math]
Introduciamo la funzione
[math] \Phi [/math]
, ovvero la funzione di distribuzione della normale standard:
[math] P( W \leq \frac{\sqrt{n}}{40} ) - P(W \leq - \frac{\sqrt{n}}{40} ) = \Phi( \frac{\sqrt{n}}{40} ) - \Phi(- \frac{\sqrt{n}}{40} ) = [/math]
[math] 2 \cdot \Phi( \frac{\sqrt{n}}{40} ) - 1[/math]
Affinché tale quantità sia maggiore o uguale a 0,99 poniamo:
[math] 2 \cdot \Phi( \frac{\sqrt{n}}{40} ) - 1 \geq 0,99 \quad \text{o} \quad \Phi( \frac{\sqrt{n}}{40} ) \geq 0,995[/math]
Dalle tabelle della normale standard possiamo ricavare i valori numerici inversi di
[math] \Phi [/math]
; troviamo che 0,995 è circa
[math] \Phi(2,34) [/math]
. Ciò significa che per rendere vera la disuguaglianza deve essere:
[math] \frac{\sqrt{n}}{40} \geq 2,34[/math]
Risolviamo la disequazione e troviamo il valore di n:
[math] \sqrt{n} \geq 2,34 \cdot 40 = 93,6 \quad \text{o} \quad n > 8760,96 [/math]
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