Si risolva la seguente disequazione esponenziale goniometrica
[math](e^{\\cosx}-\sqrt{e})/(e^{\\tanx}-e^{1/\sqrt3})>0[/math]
Dobbiamo studiare il comportamento di numeratore e denominatore, separatamente (omettiamo la periodicità , riportando i risultati del primo giro)
[math]e^{\cos(x)} - \sqrt{e} > 0[/math]
[math]e^{\cos(x)} > \sqrt{e}[/math]
Ma possiamo anche scrivere[math]\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}[/math]
perciò[math]e^{\cos(x)} > e^{\frac{1}{2}}[/math]
A questo punto, dobbiamo verificare quando l'esponente di sinistra è maggiore di quello di destra[math]\cos x>1/2[/math]
ovvero[math]0 e
[math]5/3\pi
Per questi valori dell'incognita, il numeratore è positivo.
Deduciamo dunque che per i restanti valori, ovvero
Deduciamo dunque che per i restanti valori, ovvero
[math]\pi/3
il numeratore è negativo.
Passiamo ora la denominatore
Passiamo ora la denominatore
[math]e^{tan x}-e^(1/\sqrt 3)>0[/math]
[math]e^(\tan x)>e^(1/\sqrt 3)[/math]
Coinvolgendo gli esponenti[math]\tan x>1/\sqrt 3[/math]
ovvero [math]\pi/6 e
[math]7/6\pi
I valori complementari renderanno il denominatore negativo
[math]0
[math]\pi/2
[math]3/2\pi
Riscriviamoli
Avendo alla mano lo studio del segno di numeratore e denominatore, vediamo che la disequazione chiede i valori per i quali la frazione sia positiva.
Pertanto, occorre che numeratore e denominatore siano di segno concorde.
Assumiamo che entrambi siano positivi. Mettendo a sistema i valori di
[math]x[/math]
che rendono positivi numeratore e denominatore, vediamo quali di essi sono condivisi.Riscriviamoli
[math]{(0
per il numeratore
[math]{(\pi/6 per il denominatore.
Rappresentando tali intervalli su una retta, possiamo dire che i valori comuni sono nell'intervallo
Rappresentando tali intervalli su una retta, possiamo dire che i valori comuni sono nell'intervallo
[math]\pi/6.
Assumiamo che numeratore e denominatore siano negativi.
Per il numeratore abbiamo i seguenti intervalli
Assumiamo che numeratore e denominatore siano negativi.
Per il numeratore abbiamo i seguenti intervalli
[math]\pi/3.
Per il denominatore
Per il denominatore
[math]{(0
I valori comuni sono negli intervalli
[math]\pi/2
[math]3/2\pi che insieme a quelli già trovati in
[math]\pi/6 sono quelli che rendono vera la nostra disequazione di partenza.
FINE
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