Coefficienti delle radici con equazioni di secondo grado
Anzitutto, forniamo le basi degli esercizi che andremo a vedere. Data una radice
[math]x_{1}[/math]
e un'altra radice [math]x_{2}[/math]
di esse possiamo trovare la somma: [math]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=s[/math]
ed il prodotto [math]x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=p[/math]
. A cosa serve trovare il valore della somma e quello del prodotto? Poiché con tali mezzi possiamo scrivere la nostra equazione di secondo grado: [math]x^{2}-sx+p=0[/math]
.A questo punto introduciamo i classici esercizi riscontrabili in un compito di matematica sulle equazioni di secondo grado:
1° esercizio. Data l'equazione e una radice, trovare l'altra radice.
[math]x^{2}+x-6=0[/math]
con [math]x_{1}=-3,x_{2}=?[/math]
Possiamo utilizzare, per risolvere, sia la somma dei coefficienti, sia il prodotto, otterremo comunque lo stesso risultato. Quindi:
[math]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} //
x_{2}=-\frac{b}{a}-x_{1} //
x_{2}=-\frac{1}{1}+3 //
x_{2}=2[/math]
x_{2}=-\frac{b}{a}-x_{1} //
x_{2}=-\frac{1}{1}+3 //
x_{2}=2[/math]
2° esercizio. Data l'equazione, trovare la somma e il prodotto delle radici.
[math]4x^{2}+8x+3=0[/math]
Sappiamo che:
[math]x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}[/math]
, pertanto [math]s=-\frac{b}{a}=-\frac{8}{4}=-2[/math]
.
[math]x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}[/math]
, pertanto [math]p=\frac{c}{a}=\frac{3}{4}[/math]
.3° esercizio. Data la somma e il prodotto delle radici, scrivi l'equazione.
[math]s=3[/math]
e [math]p=-16[/math]
Sostituento alla formula data in precededenza (
[math]x^{2}-sx+p=0[/math]
), otteniamo: [math]x^{2}-3x-16=0[/math]
.4° esercizio. Data la somma e il prodotto delle radici, trovare i coefficienti delle radici.
[math]s=3[/math]
e [math]p=\frac{5}{4}[/math]
.S'imposta l'equazione:
[math]x^{2}-3x+\frac{5}{4}=0[/math]
, applicando il secondo principio di equivalenza delle equazioni possiamo scriverla nella forma: [math]4x^{2}-12x+5=0[/math]
, pertanto utilizziamo una ridotta poiché [math]b[/math]
è pari (sarebbe il coefficiente davanti la [math]x[/math]
), quindi:
[math]\frac{∆}{4}=(\frac{b}{2})^{2}-ac, \frac{∆}{4}=36-20=16>0[/math]
.
[math]x_{1,2}=\frac{6±4}{4}[/math]
, da qui ricaviamo [math]x_{1}=\frac{5}{2}[/math]
e [math]x_{2}=\frac{1}{2}[/math]
.
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