Equazioni di Primo Grado - Passaggi

Equazioni di primo grado

• Le equazioni di primo grado sono quelle in cui l’incognita ha esponente 1.
• Hanno la forma generale: ax + b = 0, con a ≠ 0.
• Esempio: 3x - 6 = 0 → soluzione: x = 2.
• Il grado di un’equazione è determinato dall’esponente più alto con cui compare l’incognita.
Proprietà dell’addizione:
• Aggiungendo o sottraendo uno stesso numero o espressione a entrambi i membri, l’equazione rimane equivalente.

Tipologie di soluzioni

Equazioni determinate che in qualche modo rientrano tra quelle meno complesse e quindi più semplici da semplificare e da risolvere:
• Possiedono una sola soluzione.
• Esempio: 5x + 10 = 0 → x = -2.
Equazioni impossibili:
• Non ammettono nessuna soluzione reale.
• Si presentano quando si ottiene un’uguaglianza falsa.
• Esempio: 4x + 2 = 4x + 7 → 2 = 7 → Falsa.
Equazioni indeterminate:
• Hanno infinite soluzioni.
• Si presentano quando si ottiene un’uguaglianza sempre vera.
• Esempio: 3x - 1 = 3x - 1 → 0 = 0 → Vera per ogni x.

Proprietà delle equazioni

• Le equazioni possono essere semplificate o trasformate applicando alcune proprietà fondamentali:
Proprietà della moltiplicazione:
• Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero diverso da zero, l’equazione resta equivalente.
• Esempio: (1/2)x = 3 → x = 3 × 2 = 6.

Risoluzione delle equazioni di primo grado

• Passaggi base:
1. Semplificare i termini simili.
2. Trasportare tutti i termini con l’incognita a un lato e i termini noti all’altro.
3. Applicare le proprietà per isolare l’incognita.
• Esempio:
5x - 3 = 2x + 6
→ 5x - 2x = 6 + 3
→ 3x = 9
→ x = 3

Equazioni con parentesi

• Prima si eliminano le parentesi con la proprietà distributiva.
• Esempio: 2(x + 3) = x + 9
→ 2x + 6 = x + 9
→ 2x - x = 9 - 6
→ x = 3
• Esempio: 2x + 3 = 7 è un’equazione in cui x è l’incognita.
• Le soluzioni dell’equazione sono i valori che, sostituiti all’incognita, soddisfano l’uguaglianza.
Equazioni fratte (con denominatori)
• Si eliminano i denominatori moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori.
• Esempio:
(x/2) + (x/3) = 5
→ m.c.m. = 6
→ 3x + 2x = 30
→ 5x = 30
→ x = 6
• Esempio: x - 5 = 2 → x = 2 + 5 = 7.

Verifica della soluzione

• È buona prassi sostituire la soluzione trovata nell’equazione iniziale per verificarne la correttezza.
• Esempio: 4x - 1 = 7 → x = 2
→ 4(2) - 1 = 8 - 1 = 7 → Corretta.

Applicazioni pratiche delle equazioni di primo grado

• Risoluzione di problemi: Le equazioni sono spesso usate per risolvere problemi concreti (problemi di età, prezzi, velocità, lavoro…).
• Esempio: “La somma di un numero e il suo triplo è 32. Qual è il numero?”
→ x + 3x = 32
→ 4x = 32
→ x = 8
• Uso in geometria: Calcolo di lati di figure, perimetri e aree.
• Economia e finanza: Analisi di costi e ricavi lineari.
• Fisica: Equazioni lineari sono usate in leggi come F = ma o nella conversione di unità.
• L’obiettivo è trovare il valore o i valori dell’incognita che rendono vera l’uguaglianza.