Si chiama Equazione un'uguaglianza tra due espressioni algebriche che contengono una o più variabili.
Le variabili presenti in un'equazione si chiamano incognite e vengono indicate con lettere, in genere le ultime dell'alfabeto.
Risolvere un'equazione significa individuare l'insieme soluzione, cioè l'insieme dei valori che, sostituiti alle incognite, trasformano l'equazione in un'uguaglianza vera. Tali soluzioni sono detto soluzioni, o radici, dell'equazione.
L'insieme S delle soluzioni di un'equazione, con dominio D, può essere un insieme finito, infinito o l'insieme vuoto. In relazione alle caratteristiche S si determinano i seguenti casi:
- l'insieme S è formato da un numero finito di elementi: si dice allora che l'equazione è determinata;
- l'insieme S ha infiniti elementi. In questo caso l'equazione si dice indeterminata;
- l'insieme S è vuoto. In qiesto caso l'equazione non ha soluzioni in D e si dice impossibbile.
E' possibbile classificare un'equazione a seconda della posizione dell'incognita: se l'incognita compare solo al numeratore, allora l'equazione si dice intera, se compare anche al denominatore si dice fratta. Inoltre un'equazione si dice numerica se i due membri non contengono altre lettere oltre all'incognita, letterale altrimenti.
Due equazioni nella stessa incognita si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.
Il Primo Principio di equivalenza dice che addizionando o sottraendo a entrambi i membri di un'equazione, avente dominio D, uno stesso numero o stessa espressione algebrica che abbia significato in D, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Il Secondo Principio di equivalenza dice che moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un'equazione, avente dominio D, per uno stesso numero diverso da zero o per una stessa espressione algebrica che abbia significato nell'insieme D e che sia diversa da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Un'equazione è ridotta in forma normale se il primo membro è un polinomio ridotto in forma normale e il secondo membro è zero.
Si definisce grado dell'equazione A(x) = 0 scritta in froma normale il grado del polinomio A(x). Il grado di un'equazione intera è il grado di una qualunque equazione a essa equivalente e scritta in forma normale.
Si definisce equazione lineare in una sola incognita, un'equazione che può sempre essere ridotta nella forma ax = B, e con a e b numeri reali.
Per risolvere un'equazione numerica intera lineare occorre:
- ridurre, se necessario, i suoi membri allo stesso denominatore ed eliminare i denominatori;
- eseguire eventuali operazioni in essa presenti ed eliminare le possibili parentesi;
- trasportare a primo membro i termini contenenti l'incognita e a seccondo membri i termini noti;
- ridurre i termini simili presenti nei due membri.
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