Equazioni e disequazioni con valore assoluto con termine noto

In questo appunto verranno spiegate le equazioni e disequazioni in valore assoluto, attraverso esempi numerici e spiegando le diverse possibili situazioni che si possono riscontrare durante la risoluzione dell'esercizio.

Equazioni con il valore assoluto

Un'equazione con il valore assoluto, o definita anche come equazione in modulo, è definita tale se comprende espressioni algebriche o polinomi o funzioni generiche presenti o al primo o al secondo o in entrambi i membri dell'equazione, in cui è presente l'incognita all'interno del valore assoluto presente nell'equazione stessa.
La forma generale delle equazioni in valore assoluto può essere di differenti tipologie:

• Equazioni in valore assoluto: presenza di un valore assoluto e un termine noto, ovvero un termine costante:
  [math]|A(x)|=k[/math]
• Equazioni in valore assoluto: presenza di due valori assoluti:
  [math]|A(x)|=|B(x)|[/math]

  Dove:
  

  • [math]A(x)[/math]
    e
    [math] B(x)[/math]
    sono polinomi generici, o anche funzioni più complesse.
• Equazioni in valore assoluto: presenza di un valore assoluto e un termine che risulta essere una funzione generica (polinomiale, logaritmica, trigonometrica o esponenziale):
  [math]|A(x)|=B(x)[/math]
• Equazioni in valore assoluto: presenza di più valori assoluti
• Equazioni in valore assoluto: presenza di valori assoluti all'interno di un altro valore assoluto:

La soluzione di un equazione in valore assoluto con termine noto

La forma generale di un'equazione in valore assoluto con termine noto è la seguente riportata:

Dove:

• [math]A(x)[/math]
  e
  [math] k[/math]
  sono rispettivamente un polinomio generico e un termine costante.

L'insieme di definizione dell'equazione generale in valore assoluto con termine noto viene riportata come di seguito:

La soluzione prevede dunque tutto l'insieme dei numeri reali. Si differenziano diversi casi in base al valore del termine noto, a cui corrispondono dunque differenti soluzioni:

Dato

numero reale si ha :
se :

• [math]|A(X)|=k[/math]
  → equazione impossibile

Se :

• [math]|A(x)|=0 → A(x)=0[/math]
• [math]|A(x)|>0[/math]
  → disequazione impossibile

Se :

• [math]|A(x)|=k → A(x)=-k, A(x)=k[/math]

Esempio di risoluzione equazioni in valore assoluto

Sia data la seguente equazione in valore assoluto e si voglia procedere alla sua risoluzione:

Si osserva subito che le condizioni di esistenza risulta essere:

Si rientra nella casistica di

, dunque si procede andando a studiare l'equazione per:

Da cui si ottiene:

Consideriamo la prima equazione per termine noto maggiore di zero, si ottiene l'equazione riportata di seguito:

Da cui si ottiene:

Le soluzioni dell'equazione saranno:

Entrambe le soluzioni dell'equazione appartengono all'insieme di definizione, quindi le soluzioni dell'equazione in valore assoluto saranno proprio le seguenti riportate:

consideriamo ora la seconda equazione:

Da cui si ottiene:

Le soluzioni dell'equazione saranno:

Entrambe le soluzioni dell'equazione appartengono all'insieme di definizione, quindi le soluzioni dell'equazione in valore assoluto saranno proprio le seguenti riportate:

Da qui, si procede ad individuare le soluzioni complessive dell'equazione di secondo grado in valore assoluto, ovvero pari al seguente insieme id definizione:

Ovvero:

Disequazioni con il valore assoluto

Una disequazione con il valore assoluto, o definite anche disequazioni in modulo, è definita tale se comprende espressioni algebriche o polinomi o funzioni generiche presenti o al primo o al secondo o in entrambi i membri dell'disequazione, in cui è presente l'incognita all'interno del valore assoluto presente nell'disequazione stessa.
La forma generale delle disequazioni in valore assoluto può essere di differenti tipologie:

Dove:

• [math]A(x)[/math]
  e
  [math] k[/math]
  sono rispettivamente un polinomio generico e un termine costante.

L'insieme di definizione della disequazione generale valore assoluto viene riportata come di seguito:

La soluzione prevede dunque tutto l'insieme dei numeri reali. Si differenziano diversi casi in base al valore del termine noto, a cui corrispondono dunque differenti soluzioni.

La soluzione di un disequazione in valore assoluto con termine noto

La forma generale di una disequazione valore assoluto è stata già riportata precedentemente. Si procede ad individuare le diverse casistiche e metodi di risoluzione al variare del parametro . Dato numero reale si ha:

Se
[math]k>0[/math]
:
• [math]|A(x)|\ge k[/math]
  → disequazione sempre vera, quindi vale per tutto l'insieme dei reali
  [math]\{x \in \mathbb{R}\}[/math]
• [math]|A(x)|\le k[/math]
  → disequazione determinata, esistono soluzioni differenti
• [math]|A(x)|>k[/math]
  → disequazione determinata, esistono soluzioni differenti
• [math]|A(x)|>k[/math]
  → disequazione determinata, esistono soluzioni differenti



Se

[math]k=0[/math]
:
• [math]|A(x)|>0 → A(x)[/math]
  diverso da 0
• [math]|A(x)|\ge 0[/math]
  → disequazione sempre vera, quindi vale per tutto l'insieme dei reali
  [math]\{x \in \mathbb{R}\}[/math]
• [math]|A(x)|>0[/math]
  → disequazione impossibile, non esistono soluzioni appartenenti ai reali
  [math]\{\nexists x \in \mathbb{R}\}[/math]
• [math]|A(x)|\le 0 → A(x)=0[/math]
[\list]

Se

[math] k>0[/math]
:
• [math]|A(x)|\ge k[/math]
  → disequazione sempre vera, quindi vale per tutto l'insieme dei reali
  [math]\{x \in \mathbb{R}\}[/math]
• [math]|A(x)|\le k[/math]
  → disequazione impossibile, non esistono soluzioni appartenenti ai reali
  [math]\{\nexists x \in \mathbb{R}\}[/math]
• [math]|A(x)|>k[/math]
  → disequazione sempre vera, quindi vale per tutto l'insieme dei reali
  [math]\{x \in \mathbb{R}\}[/math]
• [math]|A(x)|>k[/math]
  → disequazione sempre vera, quindi vale per tutto l'insieme dei reali
  [math]\{x \in \mathbb{R}\}[/math]

A prescindere dal valore di

[math] k>0[/math]
, una disequazione in valore assoluto per essere risolta deve essere risolta attraverso il seguente metodo, che prevede la risoluzione di due sistemidi disequazione (consideriamo il caso in cui si abbia
[math]|A(x)|\ge k[/math]
):
[math] \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ A(x) \ge k \end{cases} \vee \begin{cases} A(x) > 0 \\ -A(x) \ge k\end{cases} [/math]

Si risolvono singolarmente i due sistemi, e poi la soluzione complessiva sarà pari all'unione delle soluzioni dei due sistemi.

Le medesime considerazioni fatte valgono quando si ha

[math]|A(x)|\le k[/math]
o
[math]|A(x)|> k[/math]
o
[math]|A(x)|> k[/math]
, con le appropriate modifiche in base al segno di riferimento.

Per ulteriori approfondimenti su equazioni, disequazioni e valore assoluto, vedi qui