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Disequazioni con valori assoluti


Esistono 2 tipi di disequazioni con valori assoluti:
[math]|A(x)| > B(x)[/math]
e
[math]|A(x)| < B(x)[/math]
.
Il primo caso ha come soluzioni i valori di x per cui:
[math]\begin{cases} A(x) \ge 0\\
A(x) > B(x)\\
\end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} A(x) < 0\\
-A(x) > B(x)\\
\end{cases}[/math]
.
Nel caso invece dove si ha che
[math]|A(x)| < B(x)[/math]
, le soluzioni sono i valori di x per cui:
[math]\begin{cases} A(x) \ge 0\\
A(x) < B(x)\\
\end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} A(x) < 0\\
-A(x) < B(x)\\
\end{cases}[/math]
.
.
Bisogna però osservare che i sistemi risolventi di
[math]|A(x)| \ge B(x)[/math]
e
[math]|A(x)| \le B(x)[/math]
sono identici a quelli delle disequazioni
[math]|A(x)| > B(x)[/math]
e
[math]|A(x)| < B(x)[/math]
con una piccola modifica quando si ha il paragone fra A(x) e B(x):
.
Con
[math]|A(x)| \ge B(x)[/math]
:
[math]\begin{cases} A(x) \ge 0\\
A(x) \ge B(x)\\
\end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} A(x) < 0\\
-A(x) \ge B(x)\\
\end{cases}[/math]
.
Con
[math]|A(x)| \le B(x)[/math]
:
[math]\begin{cases} A(x) \ge 0\\
A(x) \le B(x)\\
\end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} A(x) < 0\\
-A(x) \le B(x)\\
\end{cases}[/math]
.
.
Detto questo possiamo passare a qualche esempio pratico:
[math]|x-1| > \frac{3}{2}[/math]
.
Poniamo il sistema di disequazioni usando il 1 criterio generalizzato. Otterremo questi sistemi:
[math]\begin{cases} x-1 \ge 0\\
x-1 > \frac{3}{2}\\
\end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x-1 < 0\\
1-x > \frac{3}{2}\\
\end{cases}[/math]
.
Risolviamo:
[math]\begin{cases} x \ge 1\\
x > \frac{5}{2}\\
\end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x < 1\\
x < -\frac{1}{2}\\
\end{cases}[/math]
.
Costruiamo lo schema dei segni e troviamo le soluzioni per il primo e per il secondo sistema.
Primo sistema:

Soluzione =
[math]x > \frac{5}{2}[/math]
.
Secondo sistema:

Soluzione =
[math]x < -\frac{1}{2}[/math]
.
Ora che abbiamo le 2 soluzioni basterà fare l'unione:
[math]x < -\frac{1}{2} \lor x > \frac{5}{2}[/math]
.
.
Qualche piccola precisazione: talvolta sarò possibile trasformare i valori assoluti in radici, come da proprietà. Solitamente non si risolve la radice ma si lascia così com'è. Inoltre, se si ha una frazione bisogna determinare le condizioni di esistenza ponendo il denominatore diverso da 0.
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