Disequazioni con valore assoluto

Indice

1. Disequazioni della forma [math] |f(x) \lt k | [/math] con [math] k \gt 0 [/math]
2. Disequazioni della forma [math] |f(x)| \gt k [/math] con [math] k \gt 0 [/math]
3. Disequazioni con valori assoluti
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Disequazioni della forma

[math] |f(x) \lt k | [/math]

con

[math] k \gt 0 [/math]

Consideriamo il caso in cui l'argomento della valore assoluto sia

:

sapendo che

è un numero positivo, possiamo affermare che

può assumere tutti i valori che sono compresi tra

e

; ma poiché due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, anche i valori compresi tra

e

soddisfano l'equazione.

Possiamo quindi affermare che, essendo

un generico numero positivo, le soluzioni sono date dai valori di

compresi tra

e

:

La stessa regola vale per

:

Possiamo generalizzare la regola precedente, considerando al posto di

una generica espressione contenente

:

In particolare, l'espressione

si traduce nel seguente sistema:

Esempio

Consideriamo la seguente disequazione con valore assoluto:

applicando la regola vista in precedenza, abbiamo che:

quindi, le soluzioni della disequazione sono date dal seguente sistema:

risolviamo il sistema:

Concludiamo che le soluzioni della disequazione sono date dall'intervallo:

Disequazioni della forma

[math] |f(x)| \gt k [/math]

con

[math] k \gt 0 [/math]

Consideriamo il caso in cui l'argomento del valore assoluto sia semplicemente

:

possiamo notare che i valori di

maggiori a

verificano sicuramente la disequazione; ma poiché numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, sicuramente anche i valori di

minori di

soddisferanno la disequazione.

In generale, quindi, essendo

un generico numero positivo, le soluzioni della disequazione sono dati dai valori di

maggiori di

e minori di

:

Possiamo estendere questa affermazione al caso in cui, al posto di

, vi sia un'espressione contenente

:

Notiamo che dobbiamo risolvere due disequazioni per trovare le soluzioni della disequazione di partenza ma, in questo caso, a differenza di prima, non dobbiamo metterle a sistema, ma dobbiamo unire le loro soluzioni.

Esempio

Risolviamo la seguente disequazione con valore assoluto:

applicando la regola vista in precedenza, abbiamo che:

Risolviamo le due disequazioni una alla volta; cominciamo dalla prima:

passiamo ora alla seconda:

Le soluzioni della disequazione di partenza sono date dall'unione delle soluzioni delle due disequazioni precedenti:

Disequazioni con valori assoluti

Nel caso in cui non fosse possibile ricondurre una disequazione alle forme viste precedentemente, la disequazione va risolta studiando il degno dell'argomento; o nel caso in cui compiano, all'interno della disequazione, due o più valori assoluti, dobbiamo risolvere la disequazione studiando il segno degli argomenti, e risolvere i sistemi relativi ad ogni intervallo.

Vediamo alcuni esempi.

Cominciamo con una disequazione in cui compare un solo valore assoluto:

Dalla definizione di valore assoluto, abbiamo i seguenti due sistemi:

Risolviamo il primo:

la soluzione del sistema è l'intervallo

;

Risolviamo ora il secondo:

La soluzione del sistema è il seguente intervallo:

.

Le soluzioni della disequazione sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:

;

quindi, la soluzione del sistema è l'intervallo

.

Vediamo ora un esempio in cui abbiamo due valori assoluti; risolviamo la seguente disequazione:

Cominciamo studiando il segno degli argomenti e riportando lo studio in un grafico, in cui individuiamo i tre intervalli:

Impostiamo il primo sistema: nel primo intervallo entrambi gli argomenti sono negativi:

La soluzione di questo primo sistema è l'intervallo

;

risolviamo il secondo sistema; nel secondo intervallo il primo argomento è positivo, mentre il secondo è negativo:

Le soluzioni del secondo sistema sono:

Passiamo al terzo sistema; nel terzo intervallo entrambi gli argomenti sono positivi:

Il sistema è impossibile, quindi abbiamo

Sapendo che le soluzioni della disequazione iniziale sono date dall'unione di tutti gli intervalli che sono soluzione dei sistemi precedenti, abbiamo che:

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