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Disequazioni con valore assoluto

Prima di parlare del valore assoluto nelle disequazioni ricordiamo cosa si intende per
Valore assoluto:

Il valore assoluto di un qualsiasi valore numerico comprende solo il numero senza il segno quindi è sempre positivo; il valore assoluto si indica con “|...|”.
Formula generalizzata:
|k|=k
|-k|=k
esempio:
|2|=2
|-2|=2
inserendo il valore assoluto in una equazione:
|x|=5
Se il valore assoluto di x deve essere uguale a 5 allora diventa…..x=5
Però bisogna considerare che anche il valore assoluto di -5 è 5, infatti….|-5|=5
inserendo il valore assoluto in una disequazione il concetto rimane lo stesso:

|x|>5
Quali valori sottoposti al valore assoluto danno un numero maggiore di 5?
Semplice tutti i numeri di valore superiore a 5, però è importante non scordare anche quelli negativi! Infatti le disequazioni che seguono sono tutte vere:
|-6|>5;
|-7|>5;
|-8|>5
Non sapendo inizialmente se x è negativo o positivo è necessario utilizzare 2 sistemi in modo da considerare ogni caso di x: uno con x>=o e uno con x<0 in modo da prendere tutti i casi (x maggiore o uguale a 0, e x minore di 0).
Nel primo sistema, di norma quello positivo, si pone quindi x positiva, e la disequazione nel caso di x positiva.
Nel secondo sistema, quello negativo, ponendo x<0 la disequazione cambia, perché x è negativo quindi viene -x>5.
Ottenendo le due soluzione che possiamo vedere nell'intervallo compreso tra le linee continue, le mettiamo insieme su una sola linea, perché vogliamo i valori che rientrano in almeno un intervallo, così otteniamo la soluzione del valore assoluto
|x|>5 soluzione x<-5 V x>5.

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