Equazione di secondo grado - Spiegazione rapida

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Equazione di secondo grado, spiegazione rapida

Come si risolve un'equazione di secondo grado ?
Dipende da come è fatta l'equazione..
Ovvero se essa è completa oppure incompleta, in questo caso se è pura o spuria..
Vediamo una rapida spiegazione.
Scriviamo innanzi tutto la sua forma completa:

[math]ax^2+bx+c=0[/math]

Essa può avere al massimo due soluzioni, il numero di queste dipende dal grado. (secondo grado quindi 2 al massimo).

1)b=0
l'equazione è detta PURA
come si trasforma?

[math]ax^2+c=0[/math]

Come si risolve?
Isoliamo la x al quadrato, portando c al secondo membro e dividendo per il coefficiente a:

[math]x^2=-\frac{c}{a}[/math]

ora basta estrarre la radice quadrata del secondo membro:

[math]x=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}[/math]

a patto che il radicando sia positivo, ovvero che

[math]-\frac{c}{a}>0[/math]

Esempio:

[math]x^2-36=0[/math]

[math]x^2=36[/math]

[math]x=\pm\sqrt{36}[/math]

[math]x=\pm6[/math]

2)c=0
l'equazione è detta SPURIA
come si trasforma?

[math]ax^2+bx=0[/math]

Come si risolve?
Si raccoglie x a fattor comune:

[math]x(ax+b)=0[/math]

per la legge di annullamento del prodotto, uguagliamo a zero i due fattori:

[math]x=0[/math]

osserviamo subito che la SPURIA ammette sempre la soluzione nulla.

[math]ax+b=0[/math]

[math]x=-\frac{b}{a}[/math]

3) Equazione completa.

[math]ax^2+bx+c=0[/math]

In questo caso si calcola come prima cosa il discriminante

[math]\Delta[/math]

esso dipende dai coefficienti a,b,c:

[math]\Delta=b^2-4ac[/math]

e quindi la formula per le due soluzioni:

[math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

In base al valore del discriminate si hanno i seguenti casi:

[math]\Delta>0[/math]

;

[math]x_1\neq x_2[/math]

;
l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

[math]\Delta=0[/math]

;

[math]x_1=x_2[/math]

;
l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti

[math]\Delta;
l'equazione non ammette soluzioni reali, esse sono definite complesse e coniugate.
Vediamo allora un esempio di equazione completa:

[math]x^2+5x+4=0[/math]

calcoliamo il delta:

[math]\Delta=b^2-4ac=5^2-4*1*4=25-16=9[/math]

è positivo, cerchiamo le due soluzioni, applicando la formula:

[math]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}[/math]

inseriamo i nostri valori:

[math]x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{9}}{2}[/math]

[math]x_{1,2}=\frac{-5\pm 3}{2}[/math]

da cui

[math]x_1=\frac{-5-3}{2}=-4[/math]

[math]x_2=\frac{-5+3}{2}=-1[/math]

Equazione di secondo grado - Spiegazione rapida

Appunto di algebra che spiega in breve come risolvere un'equazione di secondo grado nelle sue forme più semplici: pura, spuria, completa.

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