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Scarto quadratrico medio (o deviazione standard)


Quello di scarto quadratico medio (noto anche come deviazione standard) è un concetto molto utilizzato in statistica e in fisica.

Si sa infatti che la misura di una grandezza non è un valore perfettamente definito, poiché le operazioni di misura sono soggette a molti tipi di errore: errori di sensibilità dello strumento, errori casuali oppure errori sistematici.
Ne consegue che può accadere che nel ripetere la misurazione di una stessa grandezza non si trovi sempre lo stesso valore.

In questo caso, la statistica ci insegna che il valore più probabile della grandezza sarà la media aritmetica dei valori trovati in una serie di n misurazioni della stessa grandezza fisica.

In altre parole:

[math]M = \frac{x1 + x2 ... +x3}{n} = \frac{∑xi}{n} [/math]

Resta però il problema di come calcolare l'errore di misura, detto anche errore statistico. Gli errori statistici possono essere di tre tipi: semidispersione, errore semplice medio oppure deviazione standard. La semidispersione viene solitamente utilizzata quando le misure effettuate sono poche. Ma quando i valori misurati sono numerosi è preferibile utilizzare l'errore medio o la deviazione standard. Anzi, la deviazione standard è più significativa dell'errore medio, essendo più sensibile ad apprezzare anche lievi variazioni delle misure. E' su questo terzo tipo di errore statistico che concentreremo la nostra attenzione.

Per poterne parlare risulta però essenziale introdurre prima il concetto di varianza. Vediamo di che si tratta.

Supponiamo che le n misurazioni di una stessa grandezza abbiano permesso di ottenere n valori: x1, x2...xn. Alcune di queste misure potranno anche essere uguali, ma per la maggior parte saranno differenti, a causa degli errori di misura precedentemente elencati.

Indichiamo con M la media aritmetica dei valori trovati, calcolata attraverso la formula introdotta precedentemente. La differenza tra ogni singola misura e la media aritmetica viene chiamata scarto della misura dal valore medio.

[math]S = (xi - M)[/math]

Regole e definizioni


Si definisce varianza (indicata con il simbolo σ²) la media aritmetica dei quadrati degli scarti delle singole misure dal valore medio.

In linguaggio matematico:

[math]σ^2= \frac{∑(xi- M)^2}{n} [/math]

Ebbene, lo scarto quadratico medio (o deviazione standard) è la radice quadrata della varianza.

[math]σ = \sqrt{\frac{∑(xi- M)^2}{n}} [/math]

Se assumiamo come errore la deviazione standard, possiamo esprimere la grandezza con la seguente scrittura:

[math]x = M \pm σ [/math]

Lo scarto quadratico medio fa parte dei cosiddetti errori assoluti. Errori cioè da cui risulta affetta la misura. Ma se vogliamo confrontare il grado di precisione con cui, con metodi diversi, sono misurate le grandezze, è necessario fare ricorso agli errori relativi. Essi sono definiti come i rapporti degli errori assoluti con la media aritmetica.

Lo scarto quadratico medio relativo ha dunque la seguente formula:

[math] σr = \frac{σ}{M} [/math]

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