Si consideri la funzione
[math]f_{X}(\xi) = \begin{cases}-\frac{1}{\alpha^2} (\xi - \alpha) & \text{se } 0 \le \xi
a) Mostrare che per ogni
Una funzione
[math]\alpha > 0[/math]
, [math]f_{X}(\xi)[/math]
rappresenta una funzione di densità di probabilità .
b) Sia
[math]X[/math]
una variabile aleatoria con densità di probabilità [math]f_{X}(\xi)[/math]
. Calcolare il valor medio [math]m_X[/math]
e la varianza [math]\sigma_{X}^2[/math]
di [math]X[/math]
nel caso in cui [math]\alpha = 2[/math]
.
Una funzione
[math]f_{X}(\xi)[/math]
è una densità di probabilità se e solo se:
[math]f_{X}(\xi) \ge 0 \quad \forall \xi \in \mathbb{R}[/math]
(1)
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(\xi) d \xi = 1[/math]
(2)
Se
[math]0 \le \xi allora
[math]\xi - \alpha , pertanto
[math]-\frac{1}{\alpha^2} (x - \alpha) > 0[/math]
, inoltre se [math]\alpha \le \xi allora
[math]x - 2\alpha , pertanto
[math]-\frac{1}{\alpha^2} (x - 2 \alpha) > 0[/math]
. di conseguenza la condizione (1) è verificata.
[math]\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(\xi) d \xi = \int_{0}^{\alpha} - \frac{1}{\alpha^2} (\xi - \alpha) d \xi + \int_{\alpha}^{2 \alpha} -\frac{1}{\alpha^2} (\xi - 2 \alpha) d \xi =[/math]
[math] = - \frac{1}{2 \alpha^2} [(\xi - \alpha)^2]_{0}^{\alpha} - \frac{1}{2 \alpha} [(\xi - 2\alpha)^2]_{\alpha}^{2 \alpha} = - \frac{1}{2 \alpha} (- \alpha^2) - \frac{1}{2 \alpha^2} (- \alpha^2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1[/math]
quindi anche la condizione (2) è rispettata, pertanto, per
[math]\alpha > 0[/math]
, [math]f_{X}(\xi)[/math]
rappresenta una densità di probabilità . Se [math]\alpha = 2[/math]
allora
[math]f_{X}(\xi) = \begin{cases} -\frac{1}{4} (\xi - 2) & \text{se } 0 \le \xi
Il valor medio risulta pari a
[math]m_X = E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} \xi f_{X}(\xi) d \xi = \int_{0}^{2} (- \frac{1}{4} \xi^2 + \frac{1}{2} \xi) d \xi + \int_{2}^{4} (- \frac{1}{4} \xi^2 + \xi) d \xi = - \frac{1}{12} [\xi^3]_{0}^{2} + \frac{1}{4} [\xi^2]_{0}^{2} - \frac{1}{12} [\xi^3]_{2}^{4} + \frac{1}{2} [\xi^2]_{2}^{4}=[/math]
[math] = - \frac{8}{12} + \frac{4}{4} - \frac{56}{12} + \frac{12}{2} = -\frac{16}{3} + 1 + 5 = \frac{5}{3}[/math]
La varianza invece vale
[math]\sigma_{X}^{2} = E[{(X - m_X)}^2] = E[X^2 - 2X m_X + m_{X}^2] = E[X^2] - 2 m_XE[X] + m_{X}^2 = E[X^2] - 2m_{X}^2 + m_{X}^2 = E[X^2] - m_{X}^2[/math]
Conviene quindi calcolare il valor quadratico medio
[math]E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^2 f_{X}(\xi) d \xi = \int_{0}^{2} (- \frac{1}{4} \xi^3 + \frac{1}{2} \xi^2) d \xi + \int_{2}^{4} (- \frac{1}{4} \xi^3 + \xi^2) d \xi = - \frac{1}{16} [\xi^4]_{0}^{2} + \frac{1}{6} [\xi^3]_{0}^{2} - \frac{1}{16} [\xi^4]_{2}^{4} + \frac{1}{3} [\xi^3]_{2}^{4}=[/math]
[math] = - \frac{16}{16} + \frac{8}{6} - \frac{240}{16} + \frac{56}{3} = -16 + \frac{120}{6} = -16 + 20 = 4[/math]
Pertanto la varianza di
[math]X[/math]
vale
[math]\sigma_{X}^{2} = E[X^2] - m_{X}^2 = 4 - \frac{25}{9} = \frac{36 - 25}{9} = \frac{11}{9}[/math]
FINE
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