Sia
[math]X[/math]
una variabile aleatoria avente densità di probabilità
[math]f_{X}({\xi}) = \begin{cases}\frac{1}{2}(\xi-1) & \text{se } \xi \text{ in } [1,3] \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}[/math]
a) Calcolare il valor medio
[math]E[X][/math]
e la varianza [math]\text{Var}(X)[/math]
di [math]X[/math]
.
Si consideri, ora, una seconda varaibile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo
[math][0,2][/math]
, e sia [math]Z = X + Y[/math]
. Nell'ipotesi che [math]X[/math]
e [math]Y[/math]
siano indipendenti:
b) Calcolare il valor medio
[math]E[Z][/math]
e la varianza [math]\text{Var}(Z)[/math]
di [math]Z[/math]
.
Il valor medio di
[math]X[/math]
risulta pari a
[math]E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} \xi f_{X}(\xi) d \xi = \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} \xi^2 - \frac{1}{2} \xi) d \xi = \frac{1}{6} [\xi^3]_{1}^{3} - \frac{1}{4} [\xi^2]_{1}^{3} = \frac{26}{6} - \frac{8}{4} = \frac{13}{3} - 2 = \frac{7}{3}[/math]
Il valor quadratico medio invece è
[math]E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^2 f_{X}(\xi) d \xi = \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} \xi^3 - \frac{1}{2}\xi^2) d \xi = \frac{1}{8} [\xi^4]_{1}^{3} - \frac{1}{6} [\xi^3]_{1}^{3} = \frac{80}{8} - \frac{26}{6} = 10 - \frac{13}{3} = \frac{17}{3}[/math]
La varianza di
[math]X[/math]
quindi vale
[math]\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \frac{17}{3} - \frac{49}{9} = \frac{51}{9} - \frac{49}{9} = \frac{2}{9}[/math]
La densità di probabilità di
[math]Y[/math]
vale
[math]f_{Y}(\eta) = \begin{cases} \frac{1}{2} & \text{ se } \eta \in[0,2] \\ 0 & \text{altrimenti} \ \end{cases}[/math]
Il valor medio di
[math]Y[/math]
è
[math]E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta f_{Y}(\eta) d \eta[/math]
[math]= \int_{0}^{2} \frac{\eta}{2} d \eta = \frac{1}{4} [\eta^2]_{0}^{2} = 1[/math]
Invece il valor quadratico medio è pari a
[math]E[Y^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta^2 f_{Y}(\eta) d \eta = \int_{0}^{2} \frac{\eta^2}{2} d \eta = \frac{1}{6} [\eta^3]_{0}^{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}[/math]
Sfruttando la linearità del valore atteso, si ottiene
[math]E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] = \frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}[/math]
[math]\text{Var}(Z) = E[Z^2] - E[Z]^2 = E[Z^2] - \frac{100}{9}[/math]
Dato che
[math]X[/math]
e [math]Y[/math]
sono variabili aleatorie indipendenti allora sono anche scorrelate, ovvero [math]E[XY] = E[X] E[Y][/math]
, quindi
[math]E[Z^2] = E[X^2 + 2 X Y + Y^2] = E[X^2] + 2 E [XY] + E[Y^2] = E[X^2] + 2 E [X]E[Y] + E[Y^2] = \frac{17}{3} + 2 \cdot \frac{7}{3} \cdot 1 + \frac{4}{3} = \frac{17}{3} + \frac{14}{3} + \frac{4}{3} = \frac{35}{3}[/math]
Quindi la varianza di
[math]Z[/math]
vale
[math]\text{Var}(Z) = E[Z^2] - E[Z]^2 = \frac{35}{3} - \frac{100}{9} = \frac{105}{9} - \frac{100}{9} = \frac{5}{9}[/math]
FINE
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