Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Siano X_1 , X_2 , ... , X _n delle variabili aleatorie indipendenti con la stessa legge esponenziale di varianza 9.

di _stan

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1) Sappiamo che per delle variabili aleatorie di legge esponenziale vi sono delle formule note per la media e la varianza; in particolare si ha:

[math]E[X_i] = \frac{1}{\lambda}[/math]

[math]Var[X_i] = \frac{1}{\lambda^2}[/math]

Quindi, sapendo che tali variabili aleatorie hanno varianza 9, possiamo determinare facilmente il valore di

[math] \lambda [/math]

[math]Var[X_i] = \frac{1}{\lambda^2} = 9 \quad \text{o} \quad \lambda = \frac{1}{3}[/math]

Possiamo calcolare la media e la varianza della somma campionaria e della media campionaria:

[math]E[S_n] = E[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = [/math]

[math]E[X_1] + E[X_2] + \ldots + E[X_n] = n \cdot \frac{1}{\lambda}[/math]

[math]Var[S_n] = Var[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = [/math]

[math]Var[X_1] + Var[X_2] + \ldots + Var[X_n] = n \cdot \frac{1}{\lambda^2}[/math]

Sostituendo i valori per n = 150 otteniamo:

[math]E[S_{150}] = 150 \cdot 3 = 450[/math]

[math]Var[S_{150}] = 150 \cdot 9 = 1350[/math]

Allo stesso modo possiamo calcolare la media e la varianza per la media campionaria:

[math]E[\bar{S}_n] = \frac{1}{n} E[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = \frac{1}{\lambda}[/math]

[math]Var[\bar{S}_n] = \frac{1}{n^2} Var[X_1 + X_2 + \ldots + X_n] = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\lambda^2}[/math]

Sostituendo i valori numerici otteniamo:

[math]E[\bar{S}_{150}] = \frac{1}{\lambda} = 3[/math]

[math]Var[\bar{S}_{150}] = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{9}{150}[/math]

Possiamo procedere al calcolo della probabilità richiesta utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev; dobbiamo valutare la seguente espressione:

[math]P(|\bar{S}_{150} - 3| > \frac{\sqrt{6}}{10})[/math]

Sappiamo in generale che vale per una generica variabile aleatoria X:

[math] P(|X - E[X]| > \epsilon) \leq \frac{Var(X)}{\epsilon^2}[/math]

In questo caso, abbiamo:

[math]X = \bar{S}_{150}[/math]

[math]E[X] = E[\bar{S}_{150}] = 3[/math]

[math]\epsilon = \frac{\sqrt{6}}{10}[/math]

Quindi, poiché conosciamo la varianza di

[math]\bar{S}_n[/math]

, possiamo stimare che la probabilità richiesta è minore della seguente quantità:

[math]\frac{Var(\bar{S}_{150})}{\epsilon^2} = \frac{\frac{9}{150}}{\frac{6}{100}} = 1[/math]

2) Stimiamo la stessa quantità del punto precedente utilizzando l'approssimazione normale;

sappiamo che la quantità

[math]\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var(S_n)}}[/math]

si comporta come una normale standard per n grande. Consideriamo quindi una variabile W che può essere approssimata con una normale standard. Possiamo procedere nel modo seguente:

[math]P(|\bar{S}{150} - 3| > \frac{\sqrt{6}}{10}) = P(\frac{|\bar{S}{150} - 3|}{\sqrt{Var(\bar{S}{150})}} > \frac{\sqrt{6}}{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{Var(\bar{S}{150})}}) = [/math]

[math]P(|W| > \frac{\sqrt{6}}{10} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{150}}}) = P(|W| > \frac{\sqrt{6}}{10} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{3}) = [/math]

[math]P(|W| > 1) = 1 - P(|W| \leq 1) = 1 - P(-1 \leq W \leq 1) = [/math]

[math]1 - [\Phi(1) - \Phi(-1)] = 1 - [2\Phi(1) - 1] = 1 - 2\Phi(1) + 1 = 2 - 2\Phi(1)[/math]

Dalle tabelle della normale standard si ricava:

[math]2 - 2\Phi(1) = 2 - 2 \cdot 0.8413 = 0.3174[/math]

Calcolo combinatorio, probabilità e statistica: Siano [math] X_1 , X_2 , ... , X [/math]_n delle variabili aleatorie indipendenti con la stessa legge esponenziale di varianza 9.

Posto: [math] S_{150} = X_1 + X_2 + ... + X_{150} [/math] e [math] \bar{S}_{150} = \frac{S_{150}}{150} [/math]. 1) Sappiamo che per delle variabili aleatorie di legge esponenziale vi sono dell...

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