Sia
[math]f(y)[/math]
la densità di una v.a. [math]y[/math]
con media [math]m_y[/math]
e varianza [math]\sigma_y^2[/math]
, e [math]\displaystyle \mathcal{N}(y)[/math]
la densità gaussiana con stesso valore medio e varianza; calcolare [math]\displaystyle\int_y f(y) \cdot \log_a(1/(\mathcal{N}(y))),dy[/math]
--------------------------------------------------------------------------------
[math]\displaystyle\int_y f(y) \cdot \log_a(1/(\mathcal{N}(y))),dy=-\int_y f(y) \cdot \log_a(\mathcal{N}(y)),dy[/math]
[math]\displaystyle \mathcal{N}(y)=\frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma_y^2}(y-m_y)^2}[/math]
per cui
[math]\displaystyle \log_a(\mathcal{N}(y))=\log_a\left(\frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}\right)+\left(-\frac{1}{2\sigma_y^2}(y-m_y)^2\right)\log_a(e)[/math]
Quindi
[math]\displaystyle \int_y f(y) \cdot \log_a(1/(\mathcal{N}(y))),dy=-\int_y f(y) \cdot \log_a(\mathcal{N}(y)),dy=[/math]
[math]\displaystyle =-\log_a\left(\frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}\right)\int_y f(y),dy+\frac{\log_a(e)}{2\sigma_y^2}\int_y(y-m_y)^2f_Y(y),dy=[/math]
[math]\displaystyle =-\log_a\left(\frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}\right)+\frac{\log_a(e)}{2\sigma_y^2} \cdot \sigma_y^2=[/math]
[math]\displaystyle =-\log_a\left(\frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}\right)+\frac{1}{2}\log_a(e)=\log_a(\sigma_y\sqrt{2\pi \cdot e})[/math]
FINE
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